高考数学函数与方程实际应用教学

时间:2018-05-05 17:13:05 高考数学 我要投稿

高考数学函数与方程实际应用教学


高考数学函数与方程实际应用教学

  专题一:集合、常用逻辑用语、不等式、函数与导数

  第三讲 函数与方程及函数的实际应用

  【最新考纲透析】

  1.函数与方程

  (1)结合二次函数的图象,了解函数的零点与方程根的联系,判断一元二次方程根的存在性及根的个数。

  (2)根据 具体函数的图象,能够用二分法求相应方程的近似解。

  2.函数模型及其应用

  (1)了解指数函数、对数函数以及幂函数的增长特征,知道直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义。

  (2)了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用。

  【核心要点突破】

  要点考向一:函数零点问题

  考情聚焦:1.函数的零点是新课标的新增内容,其实质是相应方程的根,而方程是高考重点考查内容, 因而函数的零点亦成为新课标高考命题的热点.

  2.常与函数的图象、性质等知识交汇命题,多以选择、填空题的形式考查。

  考向链接:1.函数零点(方程的根)的确定问题,常见的类型有(1)零点或零点存在区间的确定;(2)零点个数的确定;(3)两函数图象交战的横坐标或有几个交点的确定;解决这类问题的常用方法有:解方 程法、利用零点存在的判定或数形结合法,尤其是那些方程两端对应的函数类型不同的方程多以数形结合法求解。

  2.函数零点(方程的根)的应用问题,即已知函数零点的存在情况求参数的值或取值范围问题,解决该类问题关键是利用函数方程思想或数形结合思想,构建关于参数的方程或不等式求解。

  例1:(2010?福建高考文科?T7)函数 的零点个数为( )

  A.2 B.3 C.4 D.5

  【命题立意】本题从分段函数的角度出发,考查了学生对基本初等函数的掌握程度。

  【思路点拨】作出分段函数的图像,利用数形结合解题。

  【规范解答】选C, ,绘制出图像大致如右图,所以零点个数为2。

  【方法技巧】本题也可以采用分类讨论的方法进行求解。

  令 ,则

  (1)当 时, , 或 (舍去);

  (2)当 时, ,

  综上述:函数 有两个零点。

  要点考向二:用二分法求函数零点近似值

  考情聚焦:1.该考向虽然在近几年新课标高考中从未涉及,但由于二分法是求方程根的近似值的重要方法,其又是新课标新增内容,预计在今后的新课标高考中可能会成为新的亮点.

  2.该类问题常与函数的图象、性质交汇命题,考查学生的探究和计算能力。

  考向链接:用二分法求函数零点近似值的步骤

  (1)确定区间[a,b],验证f(a)?f(b)<0,给定精确度 ;(2)求区间(a,b)的中点 ;(3)计算f( );

  ①当f( )=0,则 就是函数的零点;

  ②若f(a)?f( )<0,则令b= (此时零点 ),

  ③若f( )?f(b)<0,则令a= (此时零点 )。

  (4)判断是否达到其精确度 ,则得零点近似值,否则重复以上步骤。

  例2:已知函数

  (1)求证函数 在区间[0,1]上存在惟一的极值点。

  (2)用二分尖求函数取得极值时相应 的近似值。(误差不超过0.2;参数数据 )

  【思路解析】求导数→ → 在[0,1]上单调→得出结论→取初始区间→用二分法逐次计算→得到符合误差的近似值.

  【解答】

  (2)取区间 [0,1]作为起始区间,用二分法逐次计算如下:

  区间中点坐标中点对应导数值取值区间

  [0,1]1

  [0,0.5]0.5

  [0.25,0.5]0.25

  由上表可知区间[0.25,0.5]的长度为0.25,所以该区间的中点 ,到区间端点距离小于0.2,因此可作为误差不超过0.2的一个极值点的相应 的值.

  函数 取得极值时,相应

  要点考向二:函数的实际应用

  考情聚焦:1.函数的实际应用历年来一直是高考的热点,考查现实生活中的热点问题,如生产经营,环境保护,工程建设等相关的增长率、最优化问题。

  2.常用导数、基本不等式、函数的单调性等重要知识求解。

  例3:(2010?湖北高考理科?T17)为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗,房屋的屋顶 和外墙需要建造隔热层.某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层,每厘米厚的隔热层建造成本为6万元.该建筑物每年的能源消耗费用C(单位:万元)与隔热层厚度 (单位:cm)满足关系: ,若不建隔热层,每年能源消耗费用为8万元.设 为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和.

  (Ⅰ)求 的值及 的表达式;

  (Ⅱ)隔热层修建多厚时,总费用 达到最小,并求最小值.

  【命题立意】本题主要考查由实际问题求函数解析式、利用导数求函数最值,考查考生的阅读理解及运算求解能力.

  【思路点拨】 的表达式 的最小值

  【规范解答】(Ⅰ)设隔热层厚度 cm,由题意建筑物每年的能源消耗费用为 ,再由 得 ,故 ;又 厘米厚的隔热层建造费用为 ,所以由题意 = + = + 。

  (Ⅱ) ,令 0

  得 (舍去),当 时, ,当 时, ,故 时 取得最小值,且最小值 = =70

  .因此当隔热层修建5cm厚时,总费用达到最小,且最小值为70万元。

  【方法技巧】解 函数应用题的第一关是:正确理解题意,将实际问题的要求转化为数学语言,找出函数关系式,注明函数定义域;第二关是:针对列出的函数解析式按题目要求,选择正确的数学思想将其作为一个纯数学问题进行解答。

  【高考真题探究】

  1.(2010上海文数)17.若 是方程式 的解,则 属于区间 [答]( )

  (A)(0,1). (B)(1,1.25). (C)(1.25,1.75) (D)(1.75,2)

  解析:

  知 属于区间(1.75,2)

  2.(2010天津理数)(2)函数f(x)= 的零点所在的一个区间是

  (A)(-2,-1)(B)(-1,0)(C)(0,1)(D)(1,2)

  【答案】B

  【解析】本题主要考查函数零点的概念与零点定理的应用,属于容易题。

  由 及零点定理知f(x)的零点在区间(-1,0)上。

  【温馨提示】函数零点附近函数值的符号相反,这类选择题通常采用代入排除的方法求解。

  3.(2010福建文数)21.(本小题满分12分)

  某港口 要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上,在小艇出发时,轮船位于港口 北偏西30°且与该港口相距20海里的 处,并正以30海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶。假设该小艇沿直线方向以 海里/小时的航行速度匀速行驶,经过 小时与轮船相遇。

  (Ⅰ)若希望相遇时小艇的航行距离最小,则小艇航行速度的大小应为多少?

  (Ⅱ)为保证小艇在30分钟内(含30分钟)能与轮船相遇,试确定小艇航行速度的最小值;

  (Ⅲ)是否存在 ,使得小艇以 海里/小时的航行速度行驶,总能有两种不同的航行方向与轮船相遇?若存在,试确定 的取值范围;若不存在,请说明理由。

  21.本小题主要考查解三角形、二次函数等基础知识,考查推理论证能力、抽象概括能力、运算求解能力、应用意识,考查函数函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想。

  解法一:

  设相遇时小艇的航行距离为S海里,则

  于是

  小艇总能有两种不同的航行方向与轮船相遇,等价于方程 应有两个不等正根,即:

  解法二:

  (I)若相遇时小艇的航行距离最小,又轮船沿正东方向匀速行驶,则小艇航行方向为正北方向。设小艇与轮船在C处相遇。

  则在Rt?OAC中,OC=20cos300=10- ,AC=30t,OC=vt.此时,轮船航行时间t= , 。即,小艇以30 海里/小时的速度航行时,相遇时小船的航行距离最小。

  【跟踪模拟训练】

  一、选择题(每小题6分,共36分)

  1. 若函数f(x)=x3+x2-2x-2的一个正数零点附近的函数值用二分法计算,参考数据如下:

  那么方程x3+x2-2x-2=0的一个近似根(精确度0.1)为( )

  (A)1.25(B)1.375(C)1.437 5 (D)1.5

  2.对于函数f(x)=x2+mx+n,若f(a)>0,f(b)>0,则函数f(x)在区间(a,b)内( )

  (A)一定有零点

  (B)一定没有零点

  (C)可能有两个零点

  (D)至多有一个零点

  3.如图,A、B、C、D是某煤矿的四个采煤点,l为公路,图中所示线段为道路,ABQP,BCRQ,CDSR近似于正方形,已知A,B,C,D四个采煤点每天的采煤量之比约为3∶2∶1∶5,运煤的费用与运煤的路程、所运煤的重量都成正比.现要从P,Q,R,S中选出一处设立一个运煤中转站,使四个采煤点的煤运到中转站的费用最少,则地点应选在( )

  (A)P(B)Q(C)R(D)S

  4. 已知函数

  若方程f(x)=x+a有且只有两个不相等的实数根,则实数a的取值范围是( )

  (A)(-∞,0] (B)(-∞,1)

  (C)[0,1] (D)[0,+∞)

  5.若x1满足2x+2x=5,x2满足2x+2log2(x-1)=5,则x1+x2=( )

  (A) (B)3 (C) (D)4

  6.已知甲、乙两车由同一起点同时出发,并沿同一路线(假定为直线)行驶.甲车、乙车的速度曲线分别为v甲和v乙(如图所示).那么对于图中给定的t0和t1,下列判断中一定正确的是( )

  (A)在t1时刻,甲车在乙车前面

  (B)t1时刻后,甲车在乙车后面

  (C)在t0时刻,两车的位置相同

  (D)t0时刻后,乙车在甲车前面

  二、填空题(每小题6分,共18分)

  7.为缓解南方部分地区电力用煤紧张的局面,某运输公司提出五种运输方案,据预测,这五种方案均能在规定时间T完成预期的运输任务Q0,各种方案的运煤总量Q与时间t的函数关系如下图所示.在这五种方案中,运煤效率(单位时间的运煤量)逐步提高的是_________.(填写所有正确的图象的编号)

  8.在用二分法求方程x3-2x-1=0的一个近似解时,已经将一根锁定在区间(1,2)内,则下一步可断定该根所在的区间为______.

  9.关于x的方程cos2x-sinx+a=0在(0, ]上有解,则a的取值范围为_____.

  三、解答题(10、11题每题15分,12题16分,共46分)

  10.已知函数f(x)=4x+m?2x+1有且只有一个零点,求实数m的取值范围,并求出零点.

  11.某电脑生产企业生产一品牌笔记本电脑的投入成本是4 500元/台.当笔记本电脑销售价为6 000元/台时,月销售量为a台;根据市场分析的结果表明,如果笔记本电脑的销售价提高的百分率为x(0<x<1),那么月销售量减少的百分率为x2.记销售价提高的百分率为x时,电脑企业的月利润是y(元).

  (1)写出月利润y(元)与x的函数关系式;

  (2)试确定笔记本电脑的销售价,使得电脑企业的月利润最大.

  12.已知f(x)是二次函数,不等式f(x)<0的解集是(0,5),且f(x)在区间[-1,4]上的最大值是12.

  (1)求f(x)的解析式;

  (2)是否存在自然数m,使得方程f(x)+ =0在区间(m,m+1)内有且只有两个不等的实数根?若存在,求出m的取值范围;若不存在,说明理由.

  参考答案

  1.【解析】选C.根据题意知函数的零点在

  1.406 25至1.437 5之间,

  因为此时1.437 5-1.406 25=0.031 25<0.1,故方程的一个近似根可以是1.437 5.

  2.【解析】选C.由于f(a)>0,f(b)>0,且抛物线开口向上,所以可能有两个零点.

  3.【解析】选C.设正方形边长为a,采煤量比例系数为x,费用比例系数为k,对于A,中转站选在P点时,费用y1=3kxa+4kxa+3kxa

  +20kxa=30kxa;对于B,中转站选在Q点时,费用y2=6kxa+2kxa+

  2kxa+15kxa=25kxa;对于C,中转站选在R点时,费用y3=9kxa+

  4kxa+kxa+10kxa=24kxa;对于D,中转站选在S点时,费用

  y4=12kxa+6kxa+2kxa+5kxa=25kxa.而24kxa<25kxa< 30kxa,故选C.

  4.【解析】选B.在同一坐标系内画出函数y=f(x)和y=x+a的图象.由图可知a<1.

  5.【解析】选C.∵2x+2x=5?2x=5-2x,

  2x+2log2(x-1)=5?2log2(x-1)=5-2x.

  ∴可抽象出三个函数y=2x,y=2log2(x-1),y=5-2x, 在同一坐标系中分别作出它们的图象(如图所示).

  观察知:

  6.【解析】选A.由图象可知,速度图象与t轴围成的面积表示汽车行驶的位移,在t0时刻,甲车的位移大于乙车的位移,故在t0时刻甲车应在乙车的前面,且t0时刻两车速度相同,故C、D不对,t1时刻甲车的位移大于乙车的位移,故A对.

  7.【解析】由于要求运煤效率逐步提高,因此反映到图象上各点处的切线的斜率即导数应逐渐增大,而只有②符合.

  答案:②

  8.【解析】令f(x)=x3-2x-1,

  显然f(1)<0,f(2)>0,

  又

  答案:( ,2)

  9.【解析】原方程可化为a=sin2x+sinx-1,方程有解当且仅当a属

  于函数y=sin2x+sinx-1的值域时,而y=sin2x+sinx-1=(sinx+ )2- ,∵x∈(0, ],∴sinx∈(0,1].可求得值域为(-1,1],即a的取值范围是(-1,1].

  答案:(-1,1]

  10.【解析】由题 知:方程4x+m?2x+1=0只有一个零点.

  令2x=t(t>0),

  ∴方程t2+m?t+1=0只有一个正根,

  ∴由图象可知,

  当m=-2时t=1,∴x=0.

  ∴函数的零点为x=0.

  11.【解析】(1)依题意,销售价提高后为6 000(1+x)元/台,月销售量为a(1-x2)台,

  则y=a(1-x2)[6 000(1+x)-4 500]

  即y=1 500a(-4x3-x2+4x+1)(0<x<1).

  (2)y′= 1500a(-12x2-2x+4),

  令y′=0,得6x2+x-2=0,

  解得,x=1/2,x=-2/3(舍去).

  当0<x<1>0;当1/2<x<1时,y’<0.

  当x=1/2时,y取得最大值。

  此时销售价为6000×(3/2)=9000元.

  答:笔记本电脑的销售价为9 000元时,电脑企业的 月利润最大.

  12.【解析】(1)∵f(x)是二次函数,且f(x)<0的解集是(0,5),

  ∴可设f(x)=ax(x-5)(a>0),

  ∴f(x)在区间[- 1,4]上的最大值是f(-1)=6a.

  由已知,得6a=12,

  ∴a=2,∴f(x)=2x(x-5)=2x2-10x(x∈R).

  【备课资源】

  1. 定义域和值域均为[-4,4]的函数y=f(x)和y=g(x)的图象如图所示,下列命题正确的是( )

  (A)方程f(g(x))=0有且仅有三个根

  (B)方程g(f(x ))=0有且仅有三个根

  (C)方程f(f(x))=0有且仅有两个根

  (D)方程g(g(x))=0有且仅有两个根

  【解析】选A.由于f(x)=0有3个根,且g(x)∈[-4,4],则f(g(x))=0有且仅有三个根.

  2. 已知a是使表达式2x+1>42-x成立的最小整数,则方程1-2x-1=ax-1实数根的个数为( )

  (A)0(B)1(C)2(D)3

  3.若方程2ax2-x-1=0在(0,1)内恰有一解,则a∈_____.

  【解析】令f(x)=2ax2-x-1,由题意 知:

  f(0)?f(1)<0,∴(-1)?(2a-2)<0,∴a>1.

  答案:(1,+∞)

  6.设 为实数,已知函数

  (1)当 =1时,求函数 的极值。

  (2)若方程 =0有三个不等实数根,求 的取值范围。

  (2)因为f′(x)=x2-2ax+(a2-1)=[x-(a-1)][x-(a+1)],所以方程f′(x)=0的两根为a-1和a+1,

  显然,函数f(x)在x=a-1处取得极大值,在x=a+1处取得极小值.因为方程f(x)=0有三个不等实根,

  解得-2故a的取值范围是(-2,-1)∪(-1,1)∪(1,2).

  7.设函数f(x)在(-∞,+∞)上满足f(2-x)=f(2+x),f(7-x)=f(7+x),且在闭区间[0,7]上,只有f(1)=f(3)=0.

  (1)试判断函数y=f(x)的奇偶性;

  (2)试求方程f(x)=0在闭区间[-2 009, 2 009]上的根的 个数,并证明你的结论.

  【解析】(1)由已知得f(0)≠0,故f(x)不是奇函数,

  又f(-1)=f(5)≠0,故y轴不是函数y=f(x)的对称轴,即f(x)不是偶函数.

  综上知,函数y=f(x)既不是奇 函数又不是偶函数.

  又f(3)=f(1)=0,

  ∴f(11)=f(13)=f(-7)=f(-9)=0.

  故f(x)在[0,10]和[-10,0]上均有2个根,从而可知函数y=f(x)在[0,2 000]上有400个根,在[2 000,2 009]上有2个根,在[-2 000,0]上有400个根,在[-2 009,-2 000]上有2个根.

  所以函数y=f(x)在[-2 009,2 009]上有804个根.

  2016届高考数学知识要点导数的概念及运算复习教案

  导数的概念及运算

  一.复习目标:

  理解导数的概念和导数的几何意义,会求简单的函数的导数和曲线在一点处的切线方程.

  二.知识要点:

  1.导数的概念: ;

  2.求导数的步骤是

  3.导数的几何意义是 .

  三.前预习:

  1.函数 的导数是 ( )

  2.已知函数 的解析式可 ( )

  3.曲线 上两点 ,若曲线上一点 处的切线恰好平行于弦 ,则点 的坐标为 ( )

  4.若函数 的图象的顶点在第四象限,则函数 的图象是( )

  5.已知曲线 在 处的切线的倾斜角为 ,则 , .

  6.曲线 与 在交点处的切线的夹角是 .

  四.例题分析:

  例1.(1)设函数 ,求 ;

  (2)设函数 ,若 ,求 的值.

  (3)设函数 ,求 .

  解:(1) ,∴

  (2)∵ ,∴

  由 得: ,解得: 或

  (3)

  例2.物体在地球上作自由落体运动时,下落距离 其中 为经历的时间, ,若 ,则下列说法正确的是( )

  (A)0~1s时间段内的速率为

  (B)在1~1+△ts时间段内的速率为

  (C)在1s末的速率为

  (D)若△t>0,则 是1~1+△ts时段的速率;

  若△t<0,则 是1+△ts~1时段的速率.

  小结:本例旨在强化对导数意义的理解, 中的△t可正可负

  例3.(1)曲线 : 在 点处的切线为 在 点处的切线为 ,求曲线 的方程;

  (2)求曲线 的过点 的切线方程.

  解:(1)已知两点均在曲线C上. ∴

  ∴ , 可求出

  ∴曲线 :

  (2)设切点为 ,则斜率 ,过切点的切线方程为:

  ,∵过点 ,∴

  解得: 或 ,当 时,切点为 ,切线方程为:

  当 时,切点为 ,切线方程为:

  例4.设函数 (1)证明:当 且 时, ;

  (2)点 (0<x0<1)在曲线 上,求曲线上在点 处的切线与 轴, 轴正向所围成的三角形面积的表达式.(用 表示)

  解:(1)∵ ,∴ ,两边平方得:

  即: ,∵ ,∴ ,∴

  (2)当 时, ,

  曲线 在点 处的切线方程为: ,即:

  ∴切线与与 轴, 轴正向的交点为

  ∴所求三角形的面积为

  例5.求函数 图象上的点到直线 的距离的最小值及相应点的坐标.

  解:首先由 得 知,两曲线无交点.

  ,要与已知直线平行,须 ,

  故切点:(0 , -2). .

  五.后作业: 班级 学号 姓名

  1.曲线 在点 处的切线方程为()

  2.已知质点运动的方程为 ,则该质点在 时的瞬时速度为 ( )

  120 80 50

  3.设点 是曲线 上的任意一点,点 处切线的倾斜角为 ,则角 的取值范围是 ( )

  4.若 ,则

  5.设函数 的导数为 ,且 ,则

  已知曲线

  (1)求曲线 在点 处的切线方程;(2)求过点 并与曲线 相切的直线方程.

  7.设曲线 : , 在哪一点处的切线斜率最小?设此点为

  求证:曲线 关于 点中心对称.

  8.已知函数 . 若 ,且 , ,求 .

  9..曲线 上有一点 ,它的坐标均为整数,且过 点的切线斜率为正数,求此点坐标及相应的切线方程.

  10.已知函数 的图像过点 .过 点的切线与图象仅 点一个公共点,又知切线斜率的最小值为2,求 的解析式.

  2016届高考理科数学第一轮总复习导数及其应用教案

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  考试要求重难点击命题展望

  1.导数概念及其几何意义

  (1)了解导数概念的实际背景;

  (2)理解导数的几何意义.

  2.导数的运算

  (1)能根据导数定义,求函数y=c(c为常数),y=x,y=x2,y=x3,y= ,y= 的导数;

  (2)能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数,能求简单的复合函数(仅限于形如f(ax+b)的复合函数)的导数.

  3.导数在研究函数中的应用

  (1)了解函数单调性和导数的关系,能利用导数研究函数的单调性,会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次);

  (2)了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件;会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数一般不超过三次);会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数一般不超过三次).

  4.生活中的优化问题

  会利用导数解决某些实际问题.

  5.定积分与微积分基本定理

  (1)了解定积分的实际背景,了解定积分的基本思想,了解定积分的概念;

  (2)了解微积分基本定理的含义.本章重点:

  1.导数的概念;

  2.利用导数求切线的斜率;

  3.利用导数判断函数单调性或求单调区间;

  4.利用导数求极值或最值;

  5.利用导数求实际问题最优解.

  本章难点:导数的综合应用.  导数与定积分是微积分的核心概念之一,也是中学选学内容中较为重要的知识之一.由于其应用的广泛性,为我们解决有关函数、数列问题提供了更一般、更有效的方法.因此,本章知识在高考题中常在函数、数列等有关最值不等式问题中有所体现,既考查数形结合思想,分类讨论思想,也考查学生灵活运用所学知识和方法的能力.考题可能以选择题或填空题的形式来考查导数与定积分的基本运算与简单的几何意义,而以解答 题的形式来综合考查学生的分析问题和解决问题的能力.

  知识网络

  3 .1 导数的概念与运算

  典例精析

  题型一 导数 的概念

  【例1】 已知函数f(x)=2ln 3x+8x,

  求 f(1-2Δx)-f(1)Δx的值.

  【解析】由导数的定义知:

  f(1-2Δx)-f(1)Δx=-2 f(1-2Δx)-f(1)-2Δx=-2f′(1)=-20.

  【点拨】导数的实质是求函数值相对于自变量的变化率,即求当Δx→0时, 平均变化率ΔyΔx的极限.

  【变式训练1】某市在一次降雨过程中,降雨量y(mm)与时间t(min)的函数关系可以近似地表示为f(t)=t2100,则在时刻t=10 min的降雨强度为(  )

  A.15 mm/minB.14 mm/min

  C.12 mm/minD.1 mm/min

  【解析】选A.

  题型二 求导函数

  【例2】 求下列函数的导数.

  (1)y=ln(x+1+x2);

  (2)y=(x2-2x+3)e2x;

  (3)y=3x1-x.

  【解析】运用求导数公式及复合函数求导数法则.

  (1)y′=1x+1+x2(x+1+x2)′

  =1x+1+x2(1+x1+x2)=11+x2.

  (2)y′=(2x-2)e2x+2(x2-2x+3)e2x

  =2(x2-x+2)e2x.

  (3)y′=13(x1-x 1-x+x(1-x)2

  =13(x1-x 1(1-x)2

  =13x (1-x)

  【变式训练2】如下图,函数f(x)的图象是折线段ABC,其中A、B、C的坐标分别为(0,4),(2,0),(6,4),则f(f(0))=       ; f(1+Δx)-f(1)Δx=       (用数字作答).

  【解析】f(0)=4,f(f(0))=f(4)=2,

  由导数定义 f(1+Δx)-f(1)Δx=f′(1).

  当0≤x≤2时,f(x)=4-2x,f′(x)=-2,f′(1)=-2.

  题型三 利用导数求切线的斜率

  【例3】 已知曲线C:y=x3-3x2+2x, 直线l:y=kx,且l与C切于点P(x0,y0) (x0≠0),求直线l的方程及切点坐标.

  【解析】由l过原点,知k=y0x0 (x0≠0),又点P(x0,y0) 在曲线C上,y0=x30-3x20+2x0,

  所以 y0x0=x20-3x0+2.

  而y′=3x2-6x+2,k=3x20-6x0+2.

  又 k=y0x0,

  所以3x20-6x0+2=x20-3x0+2,其中x0≠0,

  解得x0=32.

  所以y0=-38,所以k=y0x0=-14,

  所以直线l的方程为y=-14x,切点坐标为(32,-38).

  【点拨】利用切点在曲线上,又曲线在切点处的切线的斜率为曲线在该点处的导数来列方程,即可求得切点的坐标.

  【变式训练3】若函数y=x3-3x+4的切线经过点(-2,2),求此切线方程.

  【解析】设切点为P(x0,y0),则由

  y′=3x2-3得切线的斜率为k=3x20-3.

  所以函数y=x3-3x+4在P(x0,y0)处的切线方程为

  y-y0=(3x20-3)(x-x0).

  又切线经过点(-2,2),得

  2-y0=(3x20-3)(-2-x0),①

  而切点在曲线上,得y0=x30-3x0+4, ②

  由①②解得x0=1或x0=-2.

  则切线方程为y=2 或 9x-y+20=0.

  总结提高

  1.函数y=f(x)在x=x0处的导数通常有以下两种求法:

  (1) 导数的定义,即求 ΔyΔx= f(x0+Δx)-f(x0)Δx的值;

  (2)先求导函数f′(x),再将x=x0的值代入,即得f′(x0)的值.

  2.求y=f(x)的导函数的几种方法:

  (1)利用常见函数的导数公式;

  (2)利用四则运算的导数公式;

  (3)利用复合函数的求导方法.

  3.导数的几何意义:函数y=f(x)在x=x0处的导数f′(x0),就是函数y=f(x)的曲线在点P(x0,y0)处的切线的斜率.

  导数的应用(一)

  典例精析

  题型一 求函数f(x)的单调区间

  【例1】已知函数f(x)=x2-ax-aln(x-1)(a∈R),求函数f(x)的单调区间.

  【解析】函数f(x)=x2-ax-aln(x-1)的定义域是(1,+∞).

  f′(x)=2x-a-ax-1=2x(x-a+22)x-1,

  ①若a≤0,则a+22≤1,f′(x)=2x(x-a+22)x-1>0在(1,+∞)上恒成立,所以a≤0时,f(x)的增区间为(1,+∞).

  ②若a>0,则a+22>1,

  故当x∈(1,a+22]时,f′(x)=2x(x-a+22)x-1≤0;

  当x∈[a+22,+∞)时,f′(x)=2x(x-a+22)x-1≥0,

  所以a>0时,f(x)的减区间为(1,a+22],f(x)的增区间为[a+22,+∞).

  【点拨】在定义域x>1下,为了判定f′(x)符号,必须讨论实数a+22与0及1的大小,分类讨论是解本题的关键.

  【变式训练1】已知函数f(x)=x2+ln x-ax在(0,1)上是增函数,求a的取值范围.

  【解析】因为f′(x)=2x+1x-a,f(x)在(0,1)上是增函数,

  所以2x+1x-a≥0在(0,1)上恒成立,

  即a≤2x+1x恒成立.

  又2x+1x≥22(当且仅当x=22时,取等号).

  所以a≤22,

  故a的取值范围为(-∞,22].

  【点拨】当f(x)在区间(a,b)上是增函数时?f′(x)≥0在(a,b)上恒成立;同样,当函数f(x)在区间(a,b)上为减函数时?f′(x)≤0在(a,b)上恒成立.然后就要根据不等式恒成立的条件来求参数的取值范围了.

  题型二 求函数的极值

  【例2】已知f(x)=ax3+bx2+cx(a≠0)在x=±1时取得极值,且f(1)=-1.

  (1)试求常数a,b,c的值;

  (2)试判断x=±1是函数的极小值点还是极大值点,并说明理由.

  【解析】(1)f′(x)=3ax2+2bx+c.

  因为x=±1是函数f(x)的极值点,

  所以x=±1是方程f′(x)=0,即3ax2+2bx+c=0的两根.

  由根与系数的关系,得

  又f(1)=-1,所以a+b+c=-1. ③

  由①②③解得a=12,b=0,c=-32.

  (2)由(1)得f(x)=12x3-32x,

  所以当f′(x)=32x2-32>0时,有x<-1或x>1;

  当f′(x)=32x2-32<0时,有-1<x<1.

  所以函数f(x)=12x3-32x在(-∞,-1)和(1,+∞)上是增函数,在(-1,1)上是减函数.

  所以当x=-1时,函数取得极大值f(-1)=1;当x=1时,函数取得极小值f(1)=-1.

  【点拨】求函数的极值应先求导数.对于多项式函数f(x)来讲, f(x)在点x=x0处取极值的必要条件是f′(x)=0.但是, 当x0满足f′(x0)=0时, f(x)在点x=x0处却未必取得极 值,只有在x0的两侧f(x)的导数异号时,x0才是f(x)的极值点.并且如果f′(x)在x0两侧满足“左正右负”,则x0是f(x)的极大值点,f(x0)是极大值;如果f′(x)在x0两侧满足“左负右正”,则x0是f(x)的极小值点,f(x0)是极小值.

  【变式训练2】定义在R上的函数y=f(x),满足f(3-x)=f(x),(x-32)f′(x)<0,若x1<x2,且x1+x2>3,则有(  )

  A. f(x1)<f(x2)B. f(x1)>f(x2)

  C. f(x1)=f(x2)D.不确定

  【解析】由f(3-x)=f(x)可得f[3-(x+32)]=f(x+32),即f(32-x)=f(x+32),所以函数f(x)的图象关于x=32对称.又因为(x-32)f′(x)<0,所以当x>32时,函数f(x)单调递减,当x<32时,函数f(x)单调递增.当x1+x22=32时,f(x1)=f(x2),因为x1+x2>3,所以x1+x22>32,相当于x1,x2的中点向右偏离对称轴,所以f(x1)>f(x2).故选B.

  题型三 求函数的最值

  【例3】 求函数f(x)=ln(1+x)-14x2在区间[0,2]上的最大值和最小值.

  【解析】f′(x)=11+x-12x,令11+x-12x=0,化简为x2+x-2=0,解得x1=-2或x2=1,其中x1=-2舍去.

  又由f′(x)=11+x-12x>0,且x∈[0,2],得知函数f(x)的单调递增区间是(0,1),同理, 得知函数f(x)的单调递减区间是(1,2),所以f(1)=ln 2-14为函数f(x)的极大值.又因为f(0)=0,f(2)=ln 3-1>0,f(1)>f(2),所以,f(0)=0为函数f(x)在[0,2]上的最小值,f(1)=ln 2-14为函数f(x)在[0,2]上的最大值.

  【点拨】求函数f(x)在某闭区间[a,b]上的最值,首先需求函数f(x)在开区间(a,b)内的极值,然后,将f(x)的各个极值与f(x)在闭区间上的端点的函数值f(a)、f(b)比较,才能得出函数f(x)在[a,b]上的最值.

  【变式训练3】(2008江苏)f(x)=ax3-3x+1对x∈[-1,1]总有f(x)≥0成立,则a=   .

  【解析】若x=0,则无论a为 何值,f(x)≥0恒成立.

  当x∈(0,1]时,f(x)≥0可以化为a≥3x2-1x3,

  设g(x)=3x2-1x3,则g′(x)=3(1-2x)x4,

  x∈(0,12)时,g′(x)>0,x∈(12,1]时,g′(x)<0.

  因此g(x)max=g(12)=4,所以a≥4.

  当x∈[-1,0)时,f(x)≥0可以化为

  a≤3x2-1x3,此时g′(x)=3(1-2x)x4>0,

  g(x)min=g(-1)=4,所以a≤4.

  综上可知,a=4.

  总结提高

  1.求函数单调区间的步骤是:

  (1)确定函数f(x)的定义域D;

  (2)求导数f′(x);

  (3)根据f′(x)>0,且x∈D,求得函数f(x)的单调递增区间;根据f′(x)<0,且x∈D,求得函数f(x)的单调递减区间.

  2.求函数极值的步骤是:

  (1)求导数f′(x);

  (2)求方程f′(x)=0的根;

  (3)判断f′(x)在方程根左右的值的符号,确定f(x)在这个根处取极大值还是取极小值.

  3.求函数最值的步骤是:

  先求f(x)在(a,b)内的极值;再将f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)、f(b)比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值.

  3.3 导数的应用(二)

  典例精析

  题型一 利用导数证明不等式

  【例1】已知函数f(x)=12x2+ln x.

  (1)求函数f(x)在区间[1,e]上的值域;

  (2)求证:x>1时,f(x)<23x3.

  【解析】(1)由已知f′(x)=x+1x,

  当x∈[1,e]时,f′(x)>0,因此f(x)在 [1,e]上为增函数.

  故f(x)max=f(e)=e22+1,f(x)min=f(1)=12,

  因而f(x)在区间[1,e]上的值域为[12,e22+1].

  (2)证明:令F(x)=f(x)-23x3=-23x3+12x2+ln x,则F′(x)=x+1x-2x2=(1-x)(1+x+2x2)x,

  因为x>1,所以F′(x)<0,

  故F(x)在(1,+∞)上为减函数.

  又F(1)=-16<0,

  故x>1时,F(x)<0恒成立,

  即f(x)<23x3.

  【点拨】有关“超越性不等式”的证明,构造函数,应用导数确定所构造函数的单调性是常用的证明方法.

  【变式训练1】已知对任意实数x,有f(-x)=-f(x),g(-x)=g(x),且x>0时,f′(x)>0,g′(x)>0,则x<0时(  )

  A.f′(x)>0,g′(x)>0B.f′(x)>0,g′(x)<0

  C.f′(x)<0,g′(x)>0D.f′(x)<0,g′(x)<0

  【解析】选B.

  题型二 优化问题

  【例2】 (2009湖南)某地建一座桥,两端的桥墩已建好,这两个桥墩相距m米,余下工程只需建两端桥墩之间的桥面和桥墩.经测算,一个桥墩的工程费用为256万元;距离为x米的相邻两墩之间的桥面工程费用为(2+x)x万元.假设桥墩等距离分布,所有桥墩都视为点,且不考虑其他因素.记余下工程的费用为y万元.

  (1)试写出y关于x的函数关系式;

  (2)当m=640米时,需新建多少个桥墩才能使y最小?

  【解析】(1)设需新建n个桥墩,则(n+1)x=m,

  即n=mx-1.

  所以y=f(x)=256n+(n+1)(2+x)x

  =256(mx-1)+mx(2+x)x

  =256mx+mx+2m-256.

  (2)由(1)知f′(x)=-256mx2+12mx =m2x2(x -512).

  令f′(x)=0,得x =512.所以x=64.

  当0<x<64时,f′(x)<0,f(x)在区间(0,64)内为减函数;当64<x<640时,f′(x)>0,f(x)在区间(64,640)内为增函数.

  所以f(x)在x=64处取得最小值.

  此时n=mx-1=64064-1=9.

  故需新建9个桥墩才能使y最小.

  【变式训练2】(2010上海)如图所示,为了制作一个圆柱形灯笼,先要制作4个全等的矩形骨架,总计耗用9.6米铁丝,骨架把圆柱底面8等份,再用S平方米塑料片制成圆柱的侧面和下底面(不安装上底面).当圆柱底面半径r取何值时,S取得最大值?并求出该最大值(结果精确到0.01平方米).

  【解析】设圆柱底面半径为r,高为h,

  则由已知可得4(4r+2h)=9.6,所以2r+h=1.2.

  S=2.4πr-3πr2,h=1.2-2r>0,所以r<0.6.

  所以S=2.4πr-3πr2(0<r<0.6).

  令f(r)=2.4πr-3πr2,则f′(r)=2 .4π-6πr.

  令f′(r)=0得r=0.4.所以当0<r<0.4,f′(r)>0;

  当0.4<r<0.6,f′(r)<0.

  所以r=0.4时S最大,Smax=1.51.

  题型三 导数与函数零点问题

  【例3】 设函数f(x)=13x3-mx2+(m2-4)x,x∈R.

  (1)当m=3时,求曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程;

  (2)已知函数f(x)有三个互不相同的零点0,α,β,且α<β.若对任意的x∈[α,β],都有f(x)≥f(1)恒成立,求实数m的取值范围.

  【解析】(1)当m=3时,f(x)=13x3-3x2+5x,f′(x)=x2-6x+5.

  因为f(2)=23,f′(2)=-3,所以切点坐标为(2,23),切线的斜率为-3,

  则所求的切线方程为y-23=-3(x-2),即9x+3y-20=0.

  (2)f′(x)=x2-2mx+(m2-4).

  令f′(x)=0,得x=m-2或x=m+2.

  当x∈(-∞,m-2)时,f′(x)>0,f(x)在(-∞,m-2)上是增函数;

  当x∈(m-2,m+2)时,f′(x)<0,f(x)在(m-2,m+2)上是减函数;

  当x∈(m+2,+∞)时,f′(x)>0,f(x)在(m+2,+∞)上是增函数.

  因为函数f(x)有三个互不 相同的零点0,α,β,且f(x)=13x[x2-3mx+3(m2-4)],

  所以

  解得m∈(-4,-2)∪(-2,2)∪(2,4).

  当m∈(-4,-2)时,m-2<m+2<0,

  所以α<m-2<β<m+2<0.

  此时f(α)=0,f(1)>f(0)=0,与题意不合,故舍去.

  当m∈(-2,2)时,m-2<0<m+2,

  所以α<m-2<0<m+2<β.

  因为对任意的x∈[α,β],都有f(x)≥f(1)恒成立,

  所以α<1<β.

  所以f(1)为函数f(x)在[α,β]上的最小值.

  因为当x=m+2时,函数f(x)在[α,β]上取最小值,

  所以m+2=1,即m=-1.

  当m∈(2,4)时,0<m-2<m+2,

  所以0<m-2<α<m+2<β.

  因为对任意的x∈[α,β],都有f(x)≥f(1)恒成立,

  所以α<1<β.

  所以f(1)为函数f(x)在[α,β]上的最小值.

  因为当x=m+2时,函数f(x)在[α,β]上取最小值,

  所以m+2=1,即m=-1(舍去).

  综上可知,m的取值范围是{-1}.

  【变式训练3】已知f(x)=ax2(a∈R),g(x)=2ln x.

  (1)讨论函数F(x)=f(x)-g(x)的单调性;

  (2)若方程f(x)=g(x)在区间[2,e]上有两个不等解,求a的取值范围.

  【解析】(1)当a>0时,F(x)的递增区间为(1a,+∞),递 减区间为(0,1a);

  当a≤0时,F(x)的递减区间为(0,+∞).

  (2)[12ln 2,1e).

  总结提高

  在应用导数处理方程、不等式有关问题时,首先应熟练地将方程、不等式问题直接转化为函数问题,再利用导数确定函数单调性、极值或最值.

  3.4 定积分与微积分基本定理

  典例精析

  题型一 求常见函数的定积分

  【例1】 计算下列定积分的值.

  (1) (x-1)5dx;

  (2) (x+sin x)dx.

  【解析】(1)因为[16(x-1)6]′=(x-1)5,

  所以 (x-1)5dx= =16.

  (2)因为(x22-cos x)′=x+sin x,

  所以 (x+sin x)dx= =π28+1.

  【点拨】(1)一般情况下,只要能找到被积函数的原函数,就能求出定积分的值;

  (2)当被积函数是分段函数时,应对每个区间分段积分,再求和;

  (3)对于含有绝对值符号的被积函数,应先去掉绝对值符号后积分;

  (4)当被积函数具有奇偶性时,可用以下结论:

  ①若f(x)是偶函数 时,则 f(x)dx=2 f(x)dx;

  ②若f(x)是奇函数时,则 f(x)dx=0.

  【变式训练1】求 (3x3+4sin x)dx.

  【解析】 (3x3+4sin x)dx表示直线x=-5,x=5,y=0和曲线 y=3x3+4sin x所围成的曲边梯形面积的代数和,且在x轴上方 的面积取正号,在x轴下方的面积取负号.

  又f(-x)=3(-x)3+4sin(-x)

  =-(3x3+4sin x)=-f(x).

  所以f(x)=3x3+4sin x在[-5,5]上是奇函数,

  所以 (3x3+4sin x)dx=- (3x3+4sin x)dx,

  所以 (3x3+4sin x)dx= (3x3+4sin x)dx+ (3x3+4sin x)dx=0.

  题型二 利用定积分计算曲边梯形的面积

  【例2】求抛物线y2=2x与直线y=4-x所围成的平面图形的面积.

  【解析】方法一:如图,

  由

  得交点A(2,2),B(8,-4),

  则S= [2x-(-2x)]dx+ [4-x-(-2x)]dx

  =163+383=18.

  方法二:S= [(4-y)-y22]dy

  = =18.

  【点拨】根据图形的特征,选择不同的积分变量,可使计算简捷,在以y为积分变量时,应注意将曲线方程变为x=φ(y)的形式,同时,积分上、下限必须对应y的取值.

  【变式训练2】设k 是一个正整数,(1+xk)k的展开式中x3的系数为116,则函数y=x2与y=kx-3的图象所围成的阴影部分(如图)的面积为    .

  【解析】Tr+1=Crk(xk)r,令r=3,得x3的系数为C3k1k3=116,解得k=4.由 得函数y=x2与y=4x-3的图象的交点的横坐标分别为1,3.

  所以阴影部分的面积为S= (4x-3-x2)dx=(2x2-3x- =43.

  题型三 定积分在物理中的应用

  【例3】 (1) 变速直线运动的物体的速度为v (t)=1-t2,初始位置为x0=1,求它在前2秒内所走过的路程及2秒末所在的位置;

  (2)一物体按规律x=bt3作直线运动,式中x为时间t内通过的距离,媒质的阻力正比于速度的平方,试求物体由x=0运动到x=a时阻力所做的功.

  【解析】(1)当0≤t≤1时,v(t)≥0,当1≤t≤2时,v(t)≤0,所以前2秒内所走过的路程为

  s= v(t)dt+ (-v(t))dt

  = (1-t2)dt+ (t2-1)dt

  = + =2.

  2秒末所在的位置为

  x1=x0+ v(t)dt=1+ (1-t2)dt=13.

  所以它在前2秒内所走过的路程为2,2秒末所在的位置为x1=13.

  (2) 物体的速度为v=(bt3)′=3bt2.

  媒质阻力F阻=kv2=k(3bt2)2=9kb2t4,其中k为比例常数,且k>0.

  当x=0时,t=0;

  当x=a时,t=t1=(ab) ,

  又ds=vdt,故阻力所做的功为

  W阻= ds = kv2?vdt=k v3dt

  = k (3bt 2)3dt=277kb3t71 = 277k3a7b2.

  【点拨】定积分在物理学中的应用应注意:v(t)= a(t)dt,s(t)= v(t)dt和W= F(x)dx这三个公式.

  【变式训练3】定义F(x,y)=(1+x)y,x,y∈(0,+∞).令函数f(x)=F[1,log2(x2-4x+9)]的图象为曲线C1,曲线C1与y轴交于点A(0,m),过坐标原点O向曲线C1作切线,切点为B(n,t)(n>0),设曲线C1在点A,B之间的曲线段与线段OA,OB所围成图形的面积为S,求S的值.

  【解析】因为F(x,y)=(1+x)y,所以f(x)=F(1,log2(x2-4x+9))= =x2-4x+9,故A(0,9),又过坐标原点O向曲线C1作切线,切点为B(n,t)(n>0),f′(x)=2x-4.

  所以 解得B(3,6),

  所以S= (x2-4x+9-2x)dx=(x33-3x2+9x) =9.

  总结提高

  1.定积分的计算关键是通过逆向思维求得被积函数的原函数.?

  2.定积分在物理学中的应用必须遵循相应的物理过程和物理原理.?

  3.利用定积分求平面图形面积的步骤:?

  (1)画出草图,在直角坐标系中画出曲线或直线的大致图象;?

  (2)借助图形确定出被积函数,求出交点坐标,确定积分的上、下限;?

  (3)把曲边梯形的面积表示成若干个定积分的和;?

  2016届高考数学知识梳理数列的通项公式复习教案

  教案64 数列的通项公式(1)

  一、前检测

  1.等差数列 是递增数列,前n项和为 ,且 成等比数列, 。求数列 的通项公式。

  解:设数列 公差为

  ∵ 成等比数列,∴ ,

  即

  由①②得: ,

  2.已知数列 的前 项和 满足 。求数列 的通项公式。

  解:由

  当 时,有

  经验证 也满足上式,所以

  二、知识梳理

  (一)数列的通项公式

  一个数列{an}的 与 之间的函数关系,如果可用一个公式an=f(n)表示,我们就把这个公式叫做这个数列的通项公式.

  解读:

  (二)通项公式的求法(7种方法)

  1.定义法与观察法(合情推理:不完全归纳法):直接利用等差数列或等比数列的定义求通项的方法叫定义法,这种方法适应于已知数列类型的题目;有的数列可以根据前几项观察出通项公式。

  解读:

  2.公式法:在数列{an}中,前n项和Sn与通项an的关系为:

  (数列 的前n项的和为 ).

  解读:

  3.周期数列

  解法:由递推式计算出前几项,寻找周期。

  4.由递推式求数列通项

  类型1 递推公式为

  解法:把原递推公式转化为 ,利用累加法(逐差相加法)求解。

  类型2 (1)递推公式为

  解法:把原递推公式转化为 ,利用累乘法(逐商相乘法)求解。

  (2)由 和 确定的递推数列 的通项可如下求得:

  由已知递推式有 , , , 依次向前代入,得 ,这就是叠(迭)代法的基本模式。

  类型3 递推公式为 (其中p,q均为常数, )。

  解法:把原递推公式转化为: ,其中 ,再利用换元法转化为等比数列求解。

  三、典型例题分析

  题型1 周期数列

  例1 若数列 满足 ,若 ,则 =____。答案: 。

  变式训练1 (2005,湖南5)已知数列 满足 ,则 =( B )

  A.0 B. C. D.

  小结与拓展:由递推式计算出前几项,寻找周期。

  题型2 递推公式为 ,求通项

  例2 已知数列 ,若满足 , ,求 。

  答案:

  变式训练2 已知数列 满足 , ,求 。

  解:由条知:

  分别令 ,代入上式得 个等式累加之,即

  所以

  小结与拓展:在运用累加法时,要特别注意项数,计算时项数容易出错.

  题型3 递推公式为 ,求通项

  例3 已知数列 满足 , ,求 。

  解:由条知 ,分别令 ,代入上式得 个等式累乘之,即

  又 ,

  变式训练3 已知 , ,求 。

  解:

  小结与拓展:在运用累乘法时,还是要特别注意项数,计算时项数容易出错.

  题型4 递推公式为 (其中p,q均为常数, ),求通项

  例4 在数列 中, ,当 时,有 ,求 的通项公式。

  解法1:设 ,即有 ,对比 ,得 ,于是得 ,数列 是以 为首项,以3为公比的等比数列,所以有 。

  解法2:由已知递推式,得 ,上述两式相减,得 ,因此,数列 是以 为首项,以3为公比的等比数列。所以 ,即 ,所以 。

  变式训练4 在数列{an}中,若a1=1,an+1=2an+3 (n≥1),则该数列的通项an=__2n+1-3___.

  小结与拓展:此类数列解决的办法是将其构造成一个新的等比数列,再利用等比数列的性质进行求解,构造的办法有两种,一是待定系数法构造,设 ,展开整理 ,比较系数有 ,所以 ,所以 是等比数列,公比为 ,首项为 。二是用做差法直接构造, , ,两式相减有 ,所以 是公比为 的等比数列。也可用“归纳—猜想—证明”法求,这也是近年高考考得很多的一种题型.

  四、归纳与总结(以学生为主,师生共同完成)

  总结方法比做题更重要!方法产生于具体数学内容的学习过程中.

  压轴题放缩法技巧全总结

  高考数学备考之 放缩技巧

  证明数列型不等式,因其思维跨度大、构造性强,需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性,能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力,因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。这类问题的求解策略往往是:通过多角度观察所给数列通项的结构,深入剖析其特征,抓住其规律进行恰当地放缩;其放缩技巧主要有以下几种:

  一、裂项放缩

  例1.(1)求 的值; (2)求证: .

  解析:(1)因为 ,所以

  (2)因为 ,所以

  技巧积累:(1) (2)

  (3)

  例2.(1)求证:

  (2)求证: (3)求证:

  (4) 求证:

  解析:(1)因为 ,所以

  (2)

  (3)先运用分式放缩法证明出 ,再结合 进行裂项,最后就可以得到答案

  (4)首先 ,所以容易经过裂项得到

  再证 而由均值不等式知道这是显然成立的,

  所以

  例3.求证:

  解析: 一方面: 因为 ,所以

  另一方面:

  当 时, ,当 时, ,

  当 时, ,

  所以综上有

  例4.(2008年全国一卷)设函数 .数列 满足 . .

  设 ,整数 .证明: .

  解析: 由数学归纳法可以证明 是递增数列,

  故 若存在正整数 , 使 , 则 ,

  若 ,则由 知 , ,

  因为 ,于是

  例5.已知 ,求证: .

  解析:首先可以证明:

  所以要证

  只要证:

  故只要证 ,

  即等价于 ,

  即等价于 而正是成立的,所以原命题成立.

  例6.已知 , ,求证: .

  解析:

  所以

  从而

  例7.已知 , ,求证:

  证明: ,

  因为 ,所以

  所以

  二、函数放缩

  例8.求证: .

  解析:先构造函数有 ,从而

  cause

  所以

  例9.求证:(1)

  解析:构造函数 ,得到 ,再进行裂项 ,求和后可以得到答案

  函数构造形式: ,

  例10.求证:

  解析:提示:

  函数构造形式:

  当然本题的证明还可以运用积分放缩

  如图,取函数 ,

  首先: ,从而,

  取 有, ,

  所以有 , ,…, , ,相加后可以得到:

  另一方面 ,从而有

  取 有, ,

  所以有 ,所以综上有

  例11.求证: 和 .解析:构造函数后即可证明

  例12.求证: 解析: ,叠加之后就可以得到答案

  函数构造形式: (加强命题)

  例13.证明:

  解析:构造函数 ,求导,可以得到:

  ,令 有 ,令 有 ,

  所以 ,所以 ,令 有,

  所以 ,所以

  例14. 已知 证明 .

  解析: ,

  然后两边取自然对数,可以得到

  然后运用 和裂项可以得到答案)

  放缩思路:

  。于是 ,

  即

  注:题目所给条 ( )为一有用结论,可以起到提醒思路与探索放缩方向的作用;当然,本题还可用结论 放缩:

  即

  例16.(2008年福州市质检)已知函数 若

  解析:设函数

  ∴函数 )上单调递增,在 上单调递减.∴ 的最小值为 ,即总有

  而

  即

  令 则

  例15.(2008年厦门市质检) 已知函数 是在 上处处可导的函数,若 在 上恒成立.

  (I)求证:函数 上是增函数; (II)当 ;

  (III)已知不等式 时恒成立,

  求证:

  解析:(I) ,所以函数 上是增函数

  (II)因为 上是增函数,所以

  两式相加后可以得到

  (3)

  相加后可以得到:

  所以

  令 ,有

  所以

  (方法二)

  所以

  又 ,所以

  三、分式放缩

  姐妹不等式: 和

  记忆口诀”小者小,大者大”

  解释:看b,若b小,则不等号是小于号,反之.

  例19. 姐妹不等式: 和

  也可以表示成为

  和

  解析: 利用假分数的一个性质 可得

  即

  例20.证明:

  解析: 运用两次次分式放缩:

  (加1)

  (加2)

  相乘,可以得到:

  所以有

  四、分类放缩

  例21.求证:

  解析:

  例22.(2004年全国高中数学联赛加试改编) 在平面直角坐标系 中, 轴正半轴上的点列 与曲线 ( ≥0)上的点列 满足 ,直线 在x轴上的截距为 .点 的横坐标为 , .

  (1)证明 > >4, ; (2)证明有 ,使得对 都有 < .

  解析:(1) 依题设有: ,由 得:

  ,又直线 在 轴上的截距为 满足

  显然,对于 ,有

  (2)证明:设 ,则

  设 ,则当 时,

  所以,取 ,对 都有:

  故有 < 成立。

  例23.(2007年泉州市高三质检) 已知函数 ,若 的定义域为[-1,0],值域也为[-1,0].若数列 满足 ,记数列 的前 项和为 ,问是否存在正常数A,使得对于任意正整数 都有 ?并证明你的结论。

  解析:首先求出 ,∵

  ,故当 时, ,

  因此,对任何常数A,设 是不小于A的最小正整数,

  则当 时,必有 .

  故不存在常数A使 对所有 的正整数恒成立.

  例24.(2008年中学教学参考)设不等式组 表示的平面区域为 ,

  设 内整数坐标点的个数为 .设 , 当 时,求证: .

  解析:容易得到 ,所以,要证 只要证 ,因为 ,所以原命题得证

  五、迭代放缩

  例25. 已知 ,求证:当 时,

  解析:通过迭代的方法得到 ,然后相加就可以得到结论

  例26. 设 ,求证:对任意的正整数k,若k≥n恒有:Sn+k-Sn<1n

  解析:

  又 所以

  六、借助数列递推关系

  例27.求证:

  解析: 设 则

  ,从而

  ,相加后就可以得到

  所以

  例28. 求证:

  解析: 设 则

  ,从而

  ,相加后就可以得到

  例29. 若 ,求证:

  解析:

  所以就有

  七、分类讨论

  例30.已知数列 的前 项和 满足 证明:对任意的整数 ,有

  解析:容易得到 ,

  由于通项中含有 ,很难直接放缩,考虑分项讨论:

  当 且 为奇数时

  (减项放缩),于是

  ①当 且 为偶数时

  ②当 且 为奇数时 (添项放缩)由①知 由①②得证。

  八、线性规划型放缩

  例31. 设函数 .若对一切 , ,求 的最大值。

  解析:由 知 即

  由此再由 的单调性可以知道 的最小值为 ,最大值为

  因此对一切 , 的充要条是, 即 , 满足约束条 ,

  由线性规划得, 的最大值为5.

  九、均值不等式放缩

  例32.设 求证

  解析: 此数列的通项为

  即

  注:①应注意把握放缩的“度”:上述不等式右边放缩用的是均值不等式 ,若放成 则得 ,就放过“度”了!

  ②根据所证不等式的结构特征选取所需要的重要不等式,这里

  其中, 等的各式及其变式公式均可供选用。

  例33.已知函数 ,若 ,且 在[0,1]上的最小值为 ,求证:

  解析:

  例34.已知 为正数,且 ,试证:对每一个 , .

  解析: 由 得 ,又 ,故 ,而 ,

  令 ,则 = ,因为 ,倒序相加得 = ,

  而 ,

  则 = ,所以 ,即对每一个 , .

  例35.求证

  解析: 不等式左 = ,

  原结论成立.

  例36.已知 ,求证:

  解析:

  经过倒序相乘,就可以得到

  例37.已知 ,求证:

  解析:

  其中: ,因为

  所以

  从而 ,所以 .

  例38.若 ,求证: .

  解析:

  因为当 时, ,所以 ,所以 ,当且仅当 时取到等号.

  所以

  所以 所以

  例39.已知 ,求证: .

  解析: .

  例40.已知函数f(x)=x2-(-1)k2lnx(k∈N*).k是奇数, n∈N*时,

  求证: [f’(x)]n-2n-1f’(xn)≥2n(2n-2).

  解析: 由已知得 ,

  (1)当n=1时,左式= 右式=0.∴不等式成立.

  (2) , 左式=

  令

  由倒序相加法得:

  所以

  所以 综上,当k是奇数, 时,命题成立

  例41. (2007年东北三校)已知函数

  (1)求函数 的最小值,并求最小值小于0时的 取值范围;

  (2)令 求证:

  ★例42. (2008年江西高考试题)已知函数 , .对任意正数 ,证明: .

  解析:对任意给定的 , ,由 ,

  若令 ,则 ① ,而 ②

  (一)、先证 ;因为 , , ,

  又由 ,得 .

  所以

  (二)、再证 ;由①、②式中关于 的对称性,不妨设 .则

  (?)、当 ,则 ,所以 ,因为 ,

  ,此时 .

  (?)、当 ③,由①得 , , ,

  因为 所以 ④

  同理得 ⑤ ,于是 ⑥

  今证明 ⑦, 因为 ,

  只要证 ,即 ,也即 ,据③,此为显然.

  因此⑦得证.故由⑥得 .

  综上所述,对任何正数 ,皆有 .

  例43.求证:

  解析:一方面:

  (法二)

  另一方面:

  十、二项放缩

  例44. 已知 证明

  解析:

  即

  45.设 ,求证:数列 单调递增且

  解析: 引入一个结论:若 则 (证略)

  整理上式得 ( )

  以 代入( )式得

  即 单调递增。

  以 代入( )式得

  此式对一切正整数 都成立,即对一切偶数有 ,又因为数列 单调递增,所以对一切正整数 有 。

  注:①上述不等式可加强为 简证如下:

  利用二项展开式进行部分放缩:

  只取前两项有 对通项作如下放缩:

  故有

  ②上述数列 的极限存在,为无理数 ;同时是下述试题的背景:已知 是正整数,且 (1)证明 ;(2)证明 (01年全国卷理科第20题)

  简析 对第(2)问:用 代替 得数列 是递减数列;借鉴此结论可有如下简捷证法:数列 递减,且 故 即 。

  当然,本题每小题的证明方法都有10多种,如使用上述例5所提供的假分数性质、贝努力不等式、甚至构造“分房问题”概率模型、构造函数等都可以给出非常漂亮的解决!详见[1]。

  例46.已知a+b=1,a>0,b>0,求证:

  解析: 因为a+b=1,a>0,b>0,可认为 成等差数列,设 ,

  从而

  例47.设 ,求证 .

  解析: 观察 的结构,注意到 ,展开得

  ,即 ,得证.

  例48.求证: . 解析:参见上面的方法,希望读者自己尝试!)

  例42.(2008年北京海淀5月练习) 已知函数 ,满足:

  ①对任意 ,都有 ;

  ②对任意 都有 .

  (I)试证明: 为 上的单调增函数;

  (II)求 ;

  (III)令 ,试证明:.

  解析:本题的亮点很多,是一道考查能力的'好题.

  (1)运用抽象函数的性质判断单调性:

  因为 ,所以可以得到 ,

  也就是 ,不妨设 ,所以,可以得到 ,也就是说 为 上的单调增函数.

  (2)此问的难度较大,要完全解决出需要一定的能力!

  首先我们发现条不是很足,,尝试探索看看按(1)中的不等式可以不可以得到什么结论,一发现就有思路了!

  由(1)可知 ,令 ,则可以得到

  ,又 ,所以由不等式可以得到 ,又

  ,所以可以得到 ①

  接下要运用迭代的思想:

  因为 ,所以 , , ②

  在此比较有技巧的方法就是:

  ,所以可以判断 ③

  当然,在这里可能不容易一下子发现这个结论,所以还可以列项的方法,把所有项数尽可能地列出,然后就可以得到结论.

  所以,综合①②③有 =

  (3)在解决 的通项公式时也会遇到困难.

  ,所以数列 的方程为 ,从而 ,

  一方面 ,另一方面

  所以 ,所以,综上有

  例49. 已知函数fx的定义域为[0,1],且满足下列条:

  ① 对于任意 [0,1],总有 ,且 ;② 若 则有

  (Ⅰ)求f0的值;(Ⅱ)求证:fx≤4;

  (Ⅲ)当 时,试证明: .

  解析: (Ⅰ)解:令 ,由①对于任意 [0,1],总有 , ∴

  又由②得 即 ∴

  (Ⅱ)解:任取 且设 则

  因为 ,所以 ,即 ∴ .

  ∴当 [0,1]时, .

  (Ⅲ)证明:先用数学归纳法证明:

  (1)当n=1时, ,不等式成立;

  (2)假设当n=k时,

  由

  得

  即当n=k+1时,不等式成立

  由(1)、(2)可知,不等式 对一切正整数都成立.

  于是,当 时, ,

  而 [0,1], 单调递增 ∴ 所以,

  例50. 已知: 求证:

  解析:构造对偶式:令

  则 =

  又 (

  十一、积分放缩

  利用定积分的保号性比大小

  保号性是指,定义在 上的可积函数 ,则 .

  例51.求证: .

  解析: ,∵ ,

  时, , , ∴ , .

  利用定积分估计和式的上下界

  定积分产生和应用的一个主要背景是计算曲边梯形的面积,现在用它估计小矩形的面积和.

  例52. 求证: , .

  解析: 考虑函数 在区间 上的定积分.

  如图,显然 -①

  对 求和,

  例53. 已知 .求证: .

  解析:考虑函数 在区间 上的定积分.

  例54. (2003年全国高考江苏卷)设 ,如图,已知直线 及曲线 : , 上的点 的横坐标为 ( ).从 上的点 作直线平行于 轴,交直线 于点 ,再从点 作直线平行于 轴,交曲线 于点 . 的横坐标构成数列 .

  (Ⅰ)试求 与 的关系,并求 的通项公式;

  (Ⅱ)当 时,证明 ;

  (Ⅲ)当 时,证明 .

  解析: (过程略).

  证明(II):由 知 ,∵ ,∴ .

  ∵当 时, ,

  证明(Ⅲ):由 知 .

  ∴ 恰表示阴影部分面积,

  显然 ④

  奇巧积累: 将定积分构建的不等式略加改造即得“初等”证明,如:

  十二、部分放缩(尾式放缩)

  例55.求证:

  解析:

  例56. 设 求证:

  解析:

  又 (只将其中一个 变成 ,进行部分放缩), ,

  于是

  例57.设数列 满足 ,当 时

  证明对所有 有 ;

  解析: 用数学归纳法:当 时显然成立,假设当 时成立即 ,则当 时

  ,成立。

  利用上述部分放缩的结论 放缩通项,可得

  注:上述证明 用到部分放缩,当然根据不等式的性质也可以整体放缩: ;证明 就直接使用了部分放缩的结论

  十三、三角不等式的放缩

  例58.求证: .

  解析:(i)当 时,

  (ii)当 时,构造单位圆,如图所示:

  因为三角形AOB的面积小于扇形OAB的面积

  所以可以得到

  当 时

  所以当 时 有

  (iii)当 时, ,由(ii)可知:

  所以综上有

  十四、使用加强命题法证明不等式

  (i)同侧加强

  对所证不等式的同一方向(可以是左侧,也可以是右侧)进行加强.如要证明 ,只要证明 ,其中 通过寻找分析,归纳完成.

  例59.求证:对一切 ,都有 .

  解析:

  从而

  当然本题还可以使用其他方法,如:

  所以 .

  (ii)异侧加强(数学归纳法)

  (iii)双向加强

  有些不等式,往往是某个一般性命题的特殊情况,这时,不妨”返璞归真”,通过双向加强还原其本面目,从而顺利解决原不等式.其基本原理为:

  欲证明 ,只要证明: .

  例60.已知数列 满足: ,求证:

  解析: ,从而 ,所以有

  ,所以

  又 ,所以 ,所以有

  所以

  所以综上有

  引申:已知数列 满足: ,求证: .

  解析:由上可知 ,又 ,所以

  从而

  又当 时, ,所以综上有 .

  同题引申: (2008年浙江高考试题)已知数列 , , , .

  记 , .求证:当 时.

  (1) ; (2) ; ★(3) .

  解析:(1) ,猜想 ,下面用数学归纳法证明:

  (i)当 时, ,结论成立;

  (ii)假设当 时, ,则 时,

  从而 ,所以

  所以综上有 ,故

  (2)因为 则 , ,…, ,相加后可以得到: ,所以

  ,所以

  (3)因为 ,从而 ,有 ,所以有

  ,从而

  ,所以

  ,所以

  所以综上有 .

  例61.(2008年陕西省高考试题)已知数列 的首项 , , .

  (1)证明:对任意的 , , ;

  (2)证明: .

  解析:(1)依题,容易得到 ,要证 , , ,

  即证

  即证 ,设 所以即证明

  从而 ,即 ,这是显然成立的.

  所以综上有对任意的 , ,

  (法二)

  , 原不等式成立.

  (2)由(1)知,对任意的 ,有

  取 ,

  则 .

  原不等式成立.

  十四、经典题目方法探究

  探究1.(2008年福建省高考)已知函数 .若 在区间 上的最小值为 ,

  令 .求证: .

  证明:首先:可以得到 .先证明

  (方法一) 所以

  (方法二)因为 ,相乘得:

  ,从而 .

  (方法三)设A= ,B= ,因为A<B,所以A2<AB,

  所以 , 从而 .

  下面介绍几种方法证明

  (方法一)因为 ,所以 ,所以有

  (方法二) ,因为 ,所以

  令 ,可以得到 ,所以有

  (方法三)设 所以 ,

  从而 ,从而

  又 ,所以

  (方法四)运用数学归纳法证明:

  (i)当 时,左边= ,右边= 显然不等式成立;

  (ii)假设 时, ,则 时, ,

  所以要证明 ,只要证明 ,这是成立的.

  这就是说当 时,不等式也成立,所以,综上有

  探究2.(2008年全国二卷)设函数 .如果对任何 ,都有 ,求 的取值范围.

  解析:因为 ,所以

  设 ,则 ,

  因为 ,所以

  (i)当 时, 恒成立,即 ,所以当 时, 恒成立.

  (ii)当 时, ,因此当 时,不符合题意.

  (iii)当 时,令 ,则 故当 时, .

  因此 在 上单调增加.故当 时, ,

  即 .于是,当 时,

  所以综上有 的取值范围是

  变式:若 ,其中

  且 , ,求证:

  证明:容易得到

  由上面那个题目知道

  就可以知道

  ★同型衍变:(2006年全国一卷)已知函数 .若对任意 x∈(0,1) 恒有 f (x) >1, 求 a的取值范围.

  解析:函数f (x)的定义域为(-∞, 1)∪(1, +∞), 导数为 .

  (?) 当0< a≤2时, f (x) 在区间 (-∞, 1) 为增函数, 故对于任意x∈(0, 1) 恒有 f (x) > f (0) =1, 因而这时a满足要求.

  (?) 当a>2时, f (x) 在区间 (- , )为减函数, 故在区间(0, ) 内任取一点, 比如取 , 就有 x0∈(0, 1) 且 f (x0) < f (0) =1, 因而这时a不满足要求.

  (?) 当a≤0时, 对于任意x∈(0, 1) 恒有

  ≥ , 这时a满足要求.

  综上可知, 所求 a的取值范围为 a≤2.

  2016届高考数学考点函数及其表示法提纲专项复习教案

  2011-2012学年高三数学复习导学案

  1.函数及其表示法

  导学提纲

  1、你知道本节考纲的具体要求是什么?重点是什么?

  2.试解读一下函数的概念

  ①叙述一下函数的定义,找一找关键词

  ②符号 的含义是

  ③函数的定义域是什么?有几种形式?

  ④函数的值域是什么?你知道基本初等函数的定义域和值域吗?

  ⑤函数的三要素是什么?如何理解两个相同的函数?

  ⑥如何用函数的观点理解函数的图像?

  ⑦怎样理解复合函数?举例说明。

  [:学科网]

  ⑧怎样理解分段函数?

  3、表示函数的常用方法是什么?

  4、映射的概念是什么?怎样理解映射与函数的关系?

  堂问题导学

  1、 是一个函数吗?

  2、若 是一个函数,试确定实数a的取值范围。

  考向一:函数概念的理解和应用

  例1、设 , ,在下列各图中能表示从集合A到集合B的映射是( ),从A到B的函数是( )

  A B C

  D E

  例2.设 A= ,B= ,从A到B 的函数有多少个?

  又设 ,从A到B 的函数是唯一的吗?

  考向二:求函数的定义域

  1.求 定义域;

  2.已知 的定义域为 ,求 定义域;

  3.已知 定义域为 ,求函数 的定义域。

  考向三。分段函数求值

  例1、设 ,则 =__

  例2、以知 则 __

  考向四。求函数解析式

  例1、①设 满足 ,则 =

  ②设 ,,则 =

  ③设 ,则 =

  ④设 ,则 =

  例2、已知 是二次函数,且满足条: 且 ,

  试求 的解析式。

  四、时小结:

  通过本节学习,掌握:1. 函数概念2. 根据“对应法则”求函数值3. 求解析式的方法

  五、思考题:

  1、已知 ,集合 ,集合 ,

  若 ,求B。

  2、已知 满足 ,且 , ,则 ___, ___

  3、设 ,,P 为实数集R的两个非空子集,又规定 , ,则以下四个命题中正确的是:( )

  ①若 ; ②若

  ③若 ; ④若

  4、已知 是三次函数,且满足下列条:

  (1)函数 图象过原点;(2) ;(3)过点 的直线的倾角为 ;试求 的解析式。

  5、设 , 都是定义在R上的函数,且方程 ,有实数解,那么 不可能是()[:学科网ZXX]

  A、 B、 C、 D、

  六、后作业: 附板书设计:

  一、函数概念:

  ⒈ 对应

  映射

  任意

  2.函数

  ①任意

  ②记号

  ③简记

  对应形式:多对一,一对多。

  例1 例2

  3. 函数三要素:①定义域:A(非空、数集、优先)

  ②对应法则: [“加工” “产出”]

  ③值域:

  “ ” 的作用

  ① “加工”

  ②“深加工”

  ③“分段加工” 分段函数

  ④决定函数性质

  二、根据“对应法则”求函数值

  例3 、例4

  三、求解析式的若干方法

  ①换元法:整体换元、配凑换元 例5

  ②方程组法 例5

  ③待定系数法 例6

  堂总结

  不等式的解法

  6.5 不等式的解法(二)

  ●知识梳理

  1.x>a x>a或x<-a(a>0);

  x<a -a<x<a(a>0).

  2.形如x-a+x-b≥c的不等式的求解通常采用“零点分段讨论法”.

  3.含参不等式的求解,通常对参数分类讨论.

  4.绝对值不等式的性质:

  a-b≤a±b≤a+b.

  思考讨论

  1.在x>a x>a或x<-a(a>0)、x<a -a<x<a(a>0)中的a>0改为a∈R还成立吗?

  2.绝对值不等式的性质中等号成立的条是什么?

  ●点击双基

  1.设a、b是满足ab<0的实数,那么

  A.a+b>a-b

  B.a+b<a-b

  C.a-b<a-b

  D.a-b<a+b

  解析:用赋值法.令a=1,b=-1,代入检验.

  答案:B

  2.不等式2x2-1≤1的解集为

  A.{x-1≤x≤1}B.{x-2≤x≤2}

  C.{x0≤x≤2}D.{x-2≤x≤0}

  解析:由2x2-1≤1得-1≤2x2-1≤1.

  ∴0≤x2≤1,即-1≤x≤1.

  答案:A

  3.不等式x+log3x<x+log3x的解集为

  A.(0,1)B.(1,+∞)

  C.(0,+∞)D.(-∞,+∞)

  解析:∵x>0,x与log3x异号,

  ∴log3x<0.∴0<x<1.

  答案:A

  4.已知不等式a≤ 对x取一切负数恒成立,则a的取值范围是____________.

  解析:要使a≤ 对x取一切负数恒成立,

  令t=x>0,则a≤ .

  而 ≥ =2 ,

  ∴a≤2 .

  答案:a≤2

  5.已知不等式2x-t+t-1<0的解集为(- , ),则t=____________.

  解析:2x-t<1-t,t-1<2x-t<1-t,

  2t-1<2x<1,t- <x< .

  ∴t=0.

  答案:0

  ●典例剖析

  【例1】 解不等式2x+1+x-2>4.

  剖析:解带绝对值的不等式,需先去绝对值,多个绝对值的不等式必须利用零点分段法去绝对值求解.令2x+1=0,x-2=0,得两个零点x1=- ,x2=2.

  解:当x≤- 时,原不等式可化为

  -2x-1+2-x>4,

  ∴x<-1.

  当- <x≤2时,原不等式可化为

  2x+1+2-x>4,

  ∴x>1.又- <x≤2,

  ∴1<x≤2.

  当x>2时,原不等式可化为

  2x+1+x-2>4,∴x> .

  又x>2,∴x>2.

  综上,得原不等式的解集为{xx<-1或1<x}.

  深化拓展

  若此题再多一个含绝对值式子.如:

  2x+1+x-2+x-1>4,你又如何去解?

  分析:令2x+1=0,x-2=0,x-1=0,

  得x1=- ,x2=1,x3=2.

  解:当x≤- 时,原不等式化为

  -2x-1+2-x+1-x>4,∴x<- .

  当- <x≤1时,原不等式可化为

  2x+1+2-x+1-x>4,4>4(矛盾).

  当1<x≤2时,原不等式可化为

  2x+1+2-x+x-1>4,∴x>1.

  又1<x≤2,

  ∴1<x≤2.

  当x>2时,原不等式可化为

  2x+1+x-2+x-1>4,∴x> .

  又x>2,∴x>2.

  综上所述,原不等式的解集为{xx<- 或x>1}.

  【例2】 解不等式|x2-9|≤x+3.

  剖析:需先去绝对值,可按定义去绝对值,也可利用x≤a -a≤x≤a去绝对值.

  解法一:原不等式 (1) 或(2)

  不等式(1) x=-3或3≤x≤4;

  不等式(2) 2≤x<3.

  ∴原不等式的解集是{x|2≤x≤4或x=-3}.

  解法二:原不等式等价于

  或x≥2 x=-3或2≤x≤4.

  ∴原不等式的解集是{x|2≤x≤4或x=-3}.

  【例3】 (理)已知函数f(x)=xx-a(a∈R).

  (1)判断f(x)的奇偶性;

  (2)解关于x的不等式:f(x)≥2a2.

  解:(1)当a=0时,

  f(-x)=-x-x=-xx=-f(x),

  ∴f(x)是奇函数.

  当a≠0时,f(a)=0且f(-a)=-2aa.

  故f(-a)≠f(a)且f(-a)≠-f(a).

  ∴f(x)是非奇非偶函数.

  (2)由题设知xx-a≥2a2,

  ∴原不等式等价于 ①

  或 ②

  由①得 x∈ .

  由②得

  当a=0时,x≥0.

  当a>0时,

  ∴x≥2a.

  当a<0时,

  即x≥-a.

  综上

  a≥0时,f(x)≥2a2的解集为{xx≥2a};

  a<0时,f(x)≥2a2的解集为{xx≥-a}.

  ()设函数f(x)=ax+2,不等式 f(x)<6的解集为(-1,2),试求不等式 ≤1的解集.

  解:ax+2<6,

  ∴(ax+2)2<36,

  即a2x2+4ax-32<0.

  由题设可得

  解得a=-4.

  ∴f(x)=-4x+2.

  由 ≤1,即 ≤1可得 ≥0.

  解得x> 或x≤ .

  ∴原不等式的解集为{xx> 或x≤ }.

  ●闯关训练

  夯实基础

  1.已知集合A={xa-1≤x≤a+2},B={x3<x<5},则能使A B成立的实数a的取值范围是

  A.{a3<a≤4}B.{a3≤a≤4}

  C.{a3<a<4}D.

  解析:由题意知 得3≤a≤4.

  答案:B

  2.不等式x2+2x<3的解集为____________.

  解析:-3<x2+2x<3,即

  ∴-3<x<1.

  答案:-3<x<1

  3.不等式x+2≥x的解集是____________.

  解法一:x+2≥x (x+2)2≥x2 4x+4≥0 x≥-1.

  解法二: 在同一直角坐标系下作出f(x)=x+2与g(x)=x的图象,根据图象可得x≥-1.

  解法三:根据绝对值的几何意义,不等式x+2≥x表示数轴上x到-2的距离不小于到0的距离,∴x≥-1.

  答案:{xx≥-1}

  评述:本题的三种解法均为解绝对值不等式的基本方法,必须掌握.

  4.当0<a<1时,解关于x的不等式a <ax-2.

  解:由0<a<1,原不等式可化为 >x-2.

  这个不等式的解集是下面不等式组①及②的解集的并集. ①

  或 ②

  解不等式组①得解集为{x ≤x<2},

  解不等式组②得解集为{x2≤x<5},

  所以原不等式的解集为{x ≤x<5}.

  5.关于x的方程3x2-6(m-1)x+m2+1=0的两实根为x1、x2,若x1+x2=2,求m的值.

  解:x1、x2为方程两实根,

  ∴Δ=36(m-1)2-12(m2+1)≥0.

  ∴m≥ 或m≤ .

  又∵x1x2= >0,∴x1、x2同号.

  ∴x1+x2=x1+x2=2m-1.

  于是有2m-1=2,∴m=0或2.

  ∴m=0.

  培养能力

  6.解不等式 ≤ .

  解:(1)当x2-2<0且x≠0,即当- <x< 且x≠0时,原不等式显然成立.

  (2)当x2-2>0时,原不等式与不等式组 等价.

  x2-2≥|x|,即|x|2-|x|-2≥0.

  ∴|x|≥2.∴不等式组的解为|x|≥2,

  即x≤-2或x≥2.

  ∴原不等式的解集为(-∞,-2]∪(- ,0)∪(0, )∪[2,+∞).

  7.已知函数f(x)= 的定义域恰为不等式log2(x+3)+log x≤3的解集,且f(x)在定义域内单调递减,求实数a的取值范围.

  解:由log2(x+3)+log x≤3得

  x≥ ,

  即f(x)的定义域为[ ,+∞).

  ∵f(x)在定义域[ ,+∞)内单调递减,

  ∴当x2>x1≥ 时,f(x1)-f(x2)>0恒成立,即有(ax1- +2)-(ax2- +2)>0 a(x1-x2)-( - )>0

  (x1-x2)(a+ )>0恒成立.

  ∵x1<x2,∴(x1-x2)(a+ )>0

  a+ <0.

  ∵x1x2> - >- ,

  要使a<- 恒成立,

  则a的取值范围是a≤- .

  8.有点难度哟!

  已知f(x)=x2-x+c定义在区间[0,1]上,x1、x2∈[0,1],且x1≠x2,求证:

  (1)f(0)=f(1);

  (2) f(x2)-f(x1)<x1-x2;

  (3) f(x1)-f(x2)< ;

  (4) f(x1)-f(x2)≤ .

  证明:(1)f(0)=c,f(1)=c,

  ∴f(0)=f(1).

  (2) f(x2)-f(x1)=x2-x1x2+x1-1.

  ∵0≤x1≤1,∴0≤x2≤1,0<x1+x2<2(x1≠x2).

  ∴-1<x1+x2-1<1.

  ∴ f(x2)-f(x1)<x2-x1.

  (3)不妨设x2>x1,由(2)知

  f(x2)-f(x1)<x2-x1.①

  而由f(0)=f(1),从而

  f(x2)-f(x1)= f(x2)-f(1)+f(0)-f(x1)≤ f(x2)-f(1)+ f(0)-

  f(x1)<1-x2+x1<1-x2+x1.②

  ①+②得2 f(x2)-f(x1)<1,

  即 f(x2)-f(x1)< .

  (4)f(x2)-f(x1)≤fmax-fmin=f(0)-f( )= .

  探究创新

  9.(1)已知a<1,b<1,求证: >1;

  (2)求实数λ的取值范围,使不等式 >1对满足a<1,b<1的一切实数a、b恒成立;

  (3)已知a<1,若 <1,求b的取值范围.

  (1)证明:1-ab2-a-b2=1+a2b2-a2-b2=(a2-1)(b2-1).

  ∵a<1,b<1,∴a2-1<0,b2-1<0.

  ∴1-ab2-a-b2>0.

  ∴1-ab>a-b,

  = >1.

  (2)解:∵ >1 1-abλ2-aλ-b2=(a2λ2-1)(b2-1)>0.

  ∵b2<1,∴a2λ2-1<0对于任意满足a<1的a恒成立.

  当a=0时,a2λ2-1<0成立;

  当a≠0时,要使λ2< 对于任意满足a<1的a恒成立,而 >1,

  ∴λ≤1.故-1≤λ≤1.

  (3) <1 ( )2<1 (a+b)2<(1+ab)2 a2+b2-1-a2b2<0 (a2-1)(b2-1)<0.

  ∵a<1,∴a2<1.∴1-b2>0,即-1<b<1.

  ●思悟小结

  1.解含有绝对值的不等式的指导思想是去掉绝对值.常用的方法是:(1)由定义分段讨论;(2)利用绝对值不等式的性质;(3)平方.

  2.解含参数的不等式,如果转化不等式的形式或求不等式的解集时与参数的取值范围有关,就必须分类讨论.注意:(1)要考虑参数的总取值范围.(2)用同一标准对参数进行划分,做到不重不漏.

  ●教师下载中心

  教学点睛

  1.绝对值是历年高考的重点,而绝对值不等式更是常考常新.在教学中要从绝对值的定义和几何意义分析,绝对值的特点是带有绝对值符号,如何去掉绝对值符号,一定要教给学生方法,切不可以题论题.

  2.无理不等式在新程书本并未出现,但可以利用不等式的性质把其等价转化为代数不等式.

  3.指数、对数不等式能利用单调性求解.

  拓展题例

  【例1】 设x1、x2、y1、y2是实数,且满足x12+x22≤1,证明不等式(x1y1+x2y2-1)2≥(x12+x22-1)(y12+y22-1).

  分析:要证原不等式成立,也就是证(x1y1+x2y2-1)2-(x12+x22-1)(y12+y22-1)≥0.

  证明:(1)当x12+x22=1时,原不等式成立.

  (2)当x12+x22<1时,联想根的判别式,可构造函数f(x)=(x12+x22-1)x-2(x1y1+x2y2-1)x+(y12+y22-1),其根的判别式Δ=4(x1y1+x2y2-1)2-4(x12+x22-1)(y12+y22-1).

  由题意x12+x22<1,函数f(x)的图象开口向下.

  又∵f(1)=x12+x22-2x1y1-2x2y2+y12+y22=(x1-y1)2+(x2-y2)2≥0,

  因此抛物线与x轴必有公共点.

  ∴Δ≥0.

  ∴4(x1y1+x2y2-1)2-4(x12+x22-1)(y12+y22-1)≥0,

  即(x1y1+x2y2-1)2≥(x12+x22-1)(y12+y22-1).

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