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高考数学第一轮导学案复习幂函数
【高考要求】幂函数（A）
【目标】了解幂函数的概念；结合函数y＝x,y＝x2,y＝x3, 的图象,了解幂函数的图象变化情况.
【重难点】幂函数的性质及其应用
【知识复习与自学质疑】
1、幂函数 的图像经过 ，则 单调增区间为
2、幂函数 的图像不经过原点，则m的取值范围
3、设 ，则使函数 的定义域为R且为奇函数的 的值
4、 是偶函数，且在 上是减函数，则整数 的值是
【交流展示与互动探究】
例1、求 的定义域。
例2、比较下列各组数中三个数的大小，并说明理由。
（1） （2） （3）
例3、已知 是偶函数，且 ，求m的值，并确定 的函数解析式。
【矫正反馈】
1、幂函数 的图像过 ，那么
2、设 幂函数 的图像在 的上方，则 的取值范围
3、函数 在区间 上是减函数
4、 在区间 上的最大值是
【迁移应用】
5、已知幂函数 的图像与x轴，y轴都无交点，且关于y轴对称。试确定 的解析式。
专题四 三角函数（教师版）
【考纲解读】
1.了解任意角的概念,了解弧度制的概念,能进行弧度与角度的互化;理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切）的定义.
2.能利用单位圆中的三角函数线推导出 , 的正弦、余弦、正切的诱导公式;理解同角的三角函数的基本关系式:sin2x+cos2x=1, .
3.能画出y=sinx, y=cosx, y=tanx的图象,了解三角函数的周期性;2.理解正弦函数,余弦函数在区间[0,2 ]上的性质(如单调性,最大值和最小值以及与x轴的交点等),理解正切函数在区间(- , )内的单调性.
4.了解函数 的物理意义；能画出 的图象，了解 对函数图象变化的影响.
5.会用向量的数量积推导两角差的余弦公式;能利用两角差的余弦公式导出两角和与差的正弦、余弦和正切公式,了解它们的内在联系.
6.能利用两角差的余弦公式导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系；能运用上述公式进行简单的恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆).
【考点预测】
从近几年高考试题看，对三角函数的考查：一是以选择填空的形式考查三角函数的性质及公式的应用，一般占两个小题；二是以解答题的形式综合考查三角恒等变换、 的性质、三角函数与向量等其他知识综合及三角函数为背景的实际问题等.
预测明年，考查形式不变，选择、填空题以考查三角函数性质及公式应用为主，解答题将会以向量为载体，考查三角函数的图象与性质或者与函数奇偶性、周期性、最值等相结合，以小型综合题形式出现.
【要点梳理】
1.知识点:弧度制、象限角、终边相同的角、任意角三角函数的定义、同角三角函数基本关系式、诱导公式、三角函数线、三角函数图象和性质；和、差、倍角公式，正、余弦定理及其变形公式.
2.三角函数中常用的转化思想及方法技巧:
(1)方程思想: , , 三者中,知一可求二;
(2)“1”的替换: ;
(3)切弦互化:弦的齐次式可化为切；
(4)角的替换: , ;
(5)公式变形: , ,
(6)构造辅助角(以特殊角为主):
3.函数 的问题:
(1)“五点法”画图:分别令 、 、 、 、 ，求出五个特殊点；
(2)给出 的部分图象,求函数表达式时,比较难求的是 ,一般从“五点法”中取靠近 轴较近的已知点代入突破;
(3)求对称轴方程:令 ,
求对称中心: 令 ;
(4)求单调区间:分别令 ;
,同时注意A、 符号.
4.解三角形:
(1)基本公式:正弦、余弦定理及其变形公式；三角形面积公式；
(2)判断三角形形状时，注意边角之间的互化.
【考点在线】
考点1 三角函数的求值与化简
此类题目主要有以下几种题型：
⑴考查运用诱导公式和逆用两角和的正弦、余弦公式化简三角函数式能力，以及求三角函数的值的基本方法.
⑵考查运用诱导公式、倍角公式，两角和的正弦公式，以及利用三角函数的有界性求的值 故f(x)的定义域为
（Ⅱ）由已知条得
从而 ＝
【名师点睛】本小题主要考查三角函数的定义域和两角差的公式，同角三角函数的关系等基本知识，考查运算和推理能力，以及求角的基本知识..
【备考提示】：熟练掌握三角函数公式与性质是解答好本类题的关键.
练习1: （2011年高考福建卷科9)若 ∈（0， ），且 ，则 的值等于( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】因为 ∈（0， ），且 ，所以 ,
即 ,所以 = 或 (舍去),所以 ,即 ,选D.
考点2 考查 的图象与性质
考查三角函数的图象和性质的题目，是高考的重点题型.此类题目要求考生在熟练掌握三角函数图象的基础上要对三角函数的性质灵活运用，会用数形结合的思想解题.
【备考提示】：三角函数的图象及性质是高考考查的热点内容之一,熟练其基础知识是解答好本类题的关键.
练习2.(2011年高考江苏卷9)函数 是常数， 的部分图象如图所示，则
【答案】
【解析】由图象知：函数 的周期为 ，而周期 ，所以 ，由五点作图法知： ，解得 ，又A= ，所以函数 ，所以 .
考点3 三角函数与向量等知识的综合
三角函数与平面向量的综合,解答过程中,向量的运算往往为三角函数提供等量条.
例3.（2009年高考江苏卷第15题）
设向量
（1）若 与 垂直，求 的值；
（2）求 的最大值;
（3）若 ，求证： ∥ .
【解析】
【名师点睛】本小题主要考查向量的基本概念，同时考查同角三角函数的基本关系式、二倍角的正弦、两角和的正弦与余弦公式，考查运算和证明得基本能力.
【备考提示】：熟练三角公式与平面向量的基础知识是解决此类问题的关键.
练习3.（天津市十二区县重点中学2011年高三联考二理）（本小题满分13分）
已知向量 ， ．
（I）若 ,求 值；
（II）在 中，角 的对边分别是 ，且满足 ，
求函数 的取值范围.
【解析】（I） ----------------1分
= ----------------3分
= ----------------4分
∵ ∴ ∴ = -------6分
（II）∵ ，
由正弦定理得 -----------------8分
∴ - ----------------9分
∵ ∴ ，且
∴ ∵ ∴ ----------------10分
∴ ----------------11分
∴ ----------------12分
∴ ∴ ---13分
考点4. 解三角形
解决此类问题，要根据已知条，灵活运用正弦定理或余弦定理，求边角或将边角互化.
例4. (2011年高考安徽卷科16) 在 ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边长，a= ，b= ， ，求边BC上的高.
【解析】∵A＋B＋C＝180°，所以B＋C＝A，
又 ，∴ ，
即 ， ，又0°<A<180°，所以A＝60°.
在△ABC中，由正弦定理 得 ，
又∵ ，所以B＜A，B＝45°，C＝75°，
∴BC边上的高AD＝ACsinC＝
【名师点睛】本题考察两角和的正弦公式，同角三角函数的基本关系，利用内角和定理、正弦定理、余弦定理以及三角形边与角之间的大小对应关系解三角形的能力，考察综合运算求解能力.
【备考提示】：解三角形问题所必备的知识点是三大定理“内角和定理、正弦定理、余弦定理”具体的思路是化统一的思想“统一成纯边或纯角问题”即可.
练习4. （2011年高考东卷科17)在 ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知 .
（I）求 的值；
（II）若cosB= ，
【解析】(1)由正弦定理得 所以 = ,即 ,即有 ,即 ,所以 =2.
(2)由(1)知 =2,所以有 ,即c=2a,又因为 的周长为5,所以b=5-3a,由余弦定理得：
，即 ，解得a=1，所以b=2.
【易错专区】
问题：三角函数的图象变换
例. (2011年高考全国卷理科5)设函数 ，将 的图像向右平移 个单位长度后，所得的图像与原图像重合，则 的最小值等于( )
（A） （B） （C） （D）
【答案】C
【解析】 即 ,
z则 时 故选C.
【名师点睛】本题考查三角函数的图象平移,在平移时,应注意 的系数.
【备考提示】：三角函数的图象变换是高考的热点,必须熟练此类问题的解法.
【考题回放】
1. (2011年高考东卷理科3)若点（a,9）在函数 的图象上，则tan= 的值为( )
（A）0 (B) (C) 1 (D)
【答案】D
【解析】由题意知:9= ,解得 =2,所以 ,故选D.
2. (2011年高考东卷理科6)若函数 (ω>0)在区间 上单调递增，在 【答案】C.
【解析】若 对 恒成立，则 ，所以 ， .由 ，（ ），可知 ，即 ，所以 ，代入 ，得 ，由 ，得 ，故选C.
4.(2011年高考辽宁卷理科4)△ABC的三个内角A、B、C所对的边分别为a，b，c，asin AsinB+bcos2A= 则 （ ）
(A) (B) (C) (D)
【答案】 D
【解析】由正弦定理得，sin2AsinB+sinBcos2A= sinA，即sinB（sin2A+cos2A）= sinA，
故sinB= sinA，所以 ；
5.(2011年高考辽宁卷理科7)设sin ，则 （ ）
(A) (B) (C) (D)
【答案】A
【解析】
6.(2011年高考浙江卷理科6)若 ， ， ， ，则 （ ）
（A） （B） （C） （D）
【答案】 C
【解析】
, 故选C.
7. (2011年高考全国新标卷理科5)已知角 的顶点与原点重合，始边与横轴的正半轴重合，终边在直线 上，则， （ ）
A B C D
【答案】B
【解析】因为该直线的斜率是 ，所以， .
8. (2011年高考全国新标卷理科11)设函数 的最小正周期为 ，且 ，则（ ）
（A） 在 单调递减 （B） 在 单调递减 （C） 在 单调递增 （D） 在 单调递增
【答案】A
【解析】函数解析式可化为 ，
又因为该函数是偶函数，所以， ，所以，该函数在 上是减函数。故选A
9. (2011年高考天津卷理科6)如图，在△ 中， 是边 上的点，且 ，则 的值为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】设 ,则由题意可得: ,在 中,由余弦定理得： = ，所以 = ，在△ 中，由正弦定理得， ，所以 ，解得 = ，故选D.
10．(2011年高考湖北卷理科3)已知函数 ，若 ，则 的取值范围为( )
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】由 ，即 ，解得 ,
即 ，所以选B.
11．(2011年高考陕西卷理科6)函数 在 内( )
（A）没有零点 （B）有且仅有一个零点
（C）有且仅有两一个零点（D）有无穷个零点
【答案】B
【解析】令 ， ，则它们的图像如图故选B
12.(2011年高考重庆卷理科6)若 的内角 所对的边 满足 ，且 ，则 的值为( )
（A） (B)
(C)1 (D)
【答案】A
【解析】由 得 ，由 得 ，解得 .
13. (2011年高考四川卷理科6)在 ABC中． .则A的取值范围是( )
(A)(0， ] (B)[ ， ) (c)(0， ] (D) [ ， )
【答案】C
【解析】由正弦定理，得 ，由余弦定理，得 ，则 , , .
14.(2011年高考辽宁卷理科16)已知函数f（x）=Atan（ x+ ）（ ＞0， ），y=f（x）的部分图像如下图，则f（ ）=____________.
【答案】
【解析】函数f(x)的周期是 ，故 ，由 得 .所以 ，故 .
15.(2011年高考安徽卷理科14)已知 的一个内角为120o，并且三边长构成公差为4
的等差数列，则 的面积为_______________
【答案】
【解析】设三角形的三边长分别为 ，最大角为 ，由余弦定理得 ，则 ，所以三边长为6,10,14.△ABC的面积为 .
16. (2011年高考全国新标卷理科16)在 中， ，则 的最大值为 。
【答案】
【解析】在三角形ABC中，由正弦定理得
其中， ，又因为 ，所以最大值为
17.(2011年高考浙江卷理科18)（本题满分14分）在 中，角 所对的边分别为a,b,c已知 且 .（Ⅰ）当 时，求 的值；(Ⅱ)若角 为锐角，求p的取值范围；
【解析】（Ⅰ）由正弦定理得 ， ①
又 ②联立①②解得
(Ⅱ)由（Ⅰ）可知 ，由余弦定理得
即 由题设知
所以
18. (2011年高考天津卷理科15)（本小题满分13分）
已知函数 ，
（Ⅰ）求 的定义域与最小正周期；
（Ⅱ）设 ，若 求 的大小．
【解析】（Ⅰ）由 得 所以 的定义域为
. 的最小正周期为 .
（Ⅱ）由 得 即 ,
（2）若 a2+b2=4(a+b)-8，求边c的值
【解析】由 ，即 ，
因为 ，所以 ，两边平方得 ．
（2）由 得 ，所以 ，所以 ，
由 得 ，由余弦定理得 ，
又 ，即 ，所以 ，
所以 ，所以 ．
20. (2011年高考湖南卷理科17) （本小题满分12分）在 中，角 所对的边分别为 ，且满足 .
求角 的大小；
求 的最大值，并求取得最大值时角 的大小.
【解析】 由正弦定理得
因为 ，所以 .从而 .又 ，所以 ，
则
由 知， ，于是 =
因为 ，所以 .从而当 ，即 时，
取最大值2.
综上所述， 的最大值2，此时 ， .
【高考冲策演练】
一、选择题：
1.（ 2010年高考全国卷I理科2）记 ,那么 ( )
A. B. - C. D. -
3．（2010年高考福建卷理科1） 的值等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】原式= ，故选A。
4．（2010年高考安徽卷理科9）动点 在圆 上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转，12秒旋转一周。已知时间 时，点 的坐标是 ，则当 时，动点 的纵坐标 关于 （单位：秒）的函数的单调递增区间是( )
A、 B、 C、 D、 和
【答案】D
【解析】画出图形，设动点A与 轴正方向夹角为 ，则 时 ，每秒钟旋转 ，在 上 ，在 上 ，动点 的纵坐标 关于 都是单调递增的.
5.(2010年高考天津卷理科7)在△ABC中，内角A、B、C的对边分别是a、b、c，若 ，sinC=2 sinB，则A=( )
（A）30° （B）60° （C）120° （D）150°
【答案】A
【解析】由sinC=2 sinB结合正弦定理得： ，所以由于余弦定理得：
，所以A=30°，选A.
6．（2010年高考四川卷理科6）将函数 的图像上所有的点向右平行移动 个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原的2倍（纵坐标不变），所得图像的函数解析式是( )
（A）
（B）
（C）
（D）
【答案】C
8．（2010年高考陕西卷理科3）对于函数 ，下列选项中正确的是 （ ）
（A） f（x）在（ ， ）上是递增的 （B） 的图像关于原点对称
（C） 的最小正周期为2 （D） 的最大值为2
【答案】B
【解析】∵ ，∴易知 在 上是递减的，∴选项 错误.
∵ ，∴易知 为奇函数，∴ 的图象关于原点对称，∴选项 正确.
∵ ，∴ ，∴选项 错误.
∵ ，∴ 的最大值为 ，∴选项 错误.
9．(2010年高考全国2卷理数7）为了得到函数 的图像，只需把函数 的图像( )
（A）向左平移 个长度单位 （B）向右平移 个长度单位
（C）向左平移 个长度单位 （D）向右平移 个长度单位
【答案】B
【解析】 = ， = ，所以将 的图像向右平移 个长度单位得到 的图像，故选B.
10．（2010年高考上海市理科15）“ ”是“ ”成立的（ ）
（A）充分不必要条. （B）必要不充分条.
（C）充分条. （D）既不充分也不必要条.
【答案】A
11. (2010年高考重庆市理科6)已知函数 的部分图象如题(6)图所示，则（ ）
（A） （B）
（C） (D)
【答案】D
【解析】 ,由五点作图法知 ， = - .
12．（2009年高考广东卷A科第9题）函数 是（ ）
A．最小正周期为 的奇函数 B. 最小正周期为 的偶函数
C. 最小正周期为 的奇函数 D. 最小正周期为 的偶函数
【答案】A
【解析】因为 为奇函数, ,所以选A.
二．填空题：
13.(2011年高考安徽卷江苏7)已知 则 的值为__________
【答案】
【解析】因为 ,而 =-cot2x,所以 ,
又因为 ,所以解得 ,所以 的值为 .
14．(2011年高考北京卷理科9)在 中。若b=5， ，tanA=2，则sinA=____________；a=_______________。
【答案】
【解析】由tanA=2得sinA= ，由正弦定理容易求得 .
15．(2011年高考福建卷理科14)如图，△ABC中，AB=AC=2，BC= ，点D 在BC边上，∠ADC=45°，则AD的长度等于______。
【答案】
【解析】由正余弦定理容易求出结果.
16．(2011年高考上海卷理科6)在相距2千米的 ． 两点处测量目标 ，若 ，则 、 两点之间的距离是 千米。
【答案】
【解析】由正弦定理得 ，解得AC= .
三．解答题：
17.(2011年高考重庆卷理科16)设 满足 ，求函数 在 上的最大值和最小值
【解析】 ,
由 得 ，解得：
因此
当 时， ， 为增函数，
当 时， ， 为减函数，
所以 在 上的最大值为 ,又因为 ， ,
所以 在 上的最小值为 .
18．(2011年高考北京卷理科15)已知函数 。
（Ⅰ）求 的最小正周期：
（Ⅱ）求 在区间 上的最大值和最小值。
【解析】（Ⅰ）因为
所以 的最小正周期为
（Ⅱ）因为
于是，当 时， 取得最大值2；
当 取得最小值—1.
19．(2011年高考福建卷理科16)已知等比数列{an}的公比q=3，前3项和S3= 。
（I）求数列{an}的通项公式；
（II）若函数 在 处取得最大值，且最大值为a3，求函数f（x）的解析式。
20．（2010年高考东卷理科17）已知函数 ，其图象过点（ , ）．
（Ⅰ）求 的值；
（Ⅱ）将函数 的图象上各点的横坐标缩短到原的 ，纵坐标不变，得到函数 的图象，求函数 在[0, ]上的最大值和最小值．
【解析】（Ⅰ）因为已知函数图象过点（ , ），所以有
，即有
= ，所以 ，解得 。
（Ⅱ）由（Ⅰ）知 ，所以
所以 = ，因为x [0, ]，所以 ，
所以当 时， 取最大值 ；当 时， 取最小值 。
21．（2010年高考福建卷理科19）
。 ，轮船位于港口O北偏西 且与该港口相距20海里的A处，并以30海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶。假设该小船沿直线方向以 海里/小时的航行速度匀速行驶，经过t小时与轮船相遇。
（1）若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？
（2）假设小艇的最高航行速度只能达到30海里/小时，试设计航行方案（即确定航行方向与航行速度的大小），使得小艇能以最短时间与轮船相遇，并说明理由。
【解析】如图，由（1）得
而小艇的最高航行速度只能达到30海里/小时，故轮船与小艇不可能在A、C（包含C）的任意位置相遇，设 ，OD= ，
由于从出发到相遇，轮船与小艇所需要的时间分别为 和 ，
所以 ，解得 ，
从而 值，且最小值为 ，于是
当 取得最小值，且最小值为 。
此时，在 中， ，故可设计航行方案如下：
航行方向为北偏东 ，航行速度为30海里/小时，小艇能以最短时间与轮船相遇.
22．（2009年高考北京卷理科第15题）在 中，角 的对边分别为 ，
2016届高考理科数学第一轮总复习导数及其应用教案
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考试要求重难点击命题展望
1.导数概念及其几何意义
(1)了解导数概念的实际背景；
(2)理解导数的几何意义.
2.导数的运算
(1)能根据导数定义，求函数y＝c(c为常数)，y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝ ，y＝ 的导数；
(2)能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数(仅限于形如f(ax＋b)的复合函数)的导数.
3.导数在研究函数中的应用
(1)了解函数单调性和导数的关系，能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次)；
(2)了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数一般不超过三次)；会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数一般不超过三次).
4.生活中的优化问题
会利用导数解决某些实际问题.
5.定积分与微积分基本定理
(1)了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念；
(2)了解微积分基本定理的含义.本章重点：
1.导数的概念；
2.利用导数求切线的斜率；
3.利用导数判断函数单调性或求单调区间；
4.利用导数求极值或最值；
5.利用导数求实际问题最优解.
本章难点：导数的综合应用. 导数与定积分是微积分的核心概念之一，也是中学选学内容中较为重要的知识之一.由于其应用的广泛性，为我们解决有关函数、数列问题提供了更一般、更有效的方法.因此，本章知识在高考题中常在函数、数列等有关最值不等式问题中有所体现，既考查数形结合思想，分类讨论思想，也考查学生灵活运用所学知识和方法的能力.考题可能以选择题或填空题的形式来考查导数与定积分的基本运算与简单的几何意义，而以解答 题的形式来综合考查学生的分析问题和解决问题的能力.
知识网络
3 .1 导数的概念与运算
典例精析
题型一 导数 的概念
【例1】 已知函数f(x)＝2ln 3x＋8x，
求 f(1－2Δx)－f(1)Δx的值.
【解析】由导数的定义知：
f(1－2Δx)－f(1)Δx＝－2 f(1－2Δx)－f(1)－2Δx＝－2f′(1)＝－20.
【点拨】导数的实质是求函数值相对于自变量的变化率，即求当Δx→0时， 平均变化率ΔyΔx的极限.
【变式训练1】某市在一次降雨过程中，降雨量y(mm)与时间t(min)的函数关系可以近似地表示为f(t)＝t2100，则在时刻t＝10 min的降雨强度为( )
A.15 mm/minB.14 mm/min
C.12 mm/minD.1 mm/min
【解析】选A.
题型二 求导函数
【例2】 求下列函数的导数.
(1)y＝ln(x＋1＋x2)；
(2)y＝(x2－2x＋3)e2x；
(3)y＝3x1－x.
【解析】运用求导数公式及复合函数求导数法则.
(1)y′＝1x＋1＋x2(x＋1＋x2)′
＝1x＋1＋x2(1＋x1＋x2)＝11＋x2.
(2)y′＝(2x－2)e2x＋2(x2－2x＋3)e2x
＝2(x2－x＋2)e2x.
(3)y′＝13(x1－x 1－x＋x(1－x)2
＝13(x1－x 1(1－x)2
＝13x (1－x)
【变式训练2】如下图，函数f(x)的图象是折线段ABC，其中A、B、C的坐标分别为(0,4)，(2,0)，(6,4)，则f(f(0))＝ ； f(1＋Δx)－f(1)Δx＝ (用数字作答).
【解析】f(0)＝4，f(f(0))＝f(4)＝2，
由导数定义 f(1＋Δx)－f(1)Δx＝f′(1).
当0≤x≤2时，f(x)＝4－2x，f′(x)＝－2，f′(1)＝－2.
题型三 利用导数求切线的斜率
【例3】 已知曲线C：y＝x3－3x2＋2x， 直线l：y＝kx，且l与C切于点P(x0，y0) (x0≠0)，求直线l的方程及切点坐标.
【解析】由l过原点，知k＝y0x0 (x0≠0)，又点P(x0，y0) 在曲线C上，y0＝x30－3x20＋2x0，
所以 y0x0＝x20－3x0＋2.
而y′＝3x2－6x＋2，k＝3x20－6x0＋2.
又 k＝y0x0，
所以3x20－6x0＋2＝x20－3x0＋2，其中x0≠0，
解得x0＝32.
所以y0＝－38，所以k＝y0x0＝－14，
所以直线l的方程为y＝－14x，切点坐标为(32，－38).
【点拨】利用切点在曲线上，又曲线在切点处的切线的斜率为曲线在该点处的导数来列方程，即可求得切点的坐标.
【变式训练3】若函数y＝x3－3x＋4的切线经过点(－2，2)，求此切线方程.
【解析】设切点为P(x0，y0)，则由
y′＝3x2－3得切线的斜率为k＝3x20－3.
所以函数y＝x3－3x＋4在P(x0，y0)处的切线方程为
y－y0＝(3x20－3)(x－x0).
又切线经过点(－2,2)，得
2－y0＝(3x20－3)(－2－x0)，①
而切点在曲线上，得y0＝x30－3x0＋4， ②
由①②解得x0＝1或x0＝－2.
则切线方程为y＝2 或 9x－y＋20＝0.
总结提高
1.函数y＝f(x)在x＝x0处的导数通常有以下两种求法：
(1) 导数的定义，即求 ΔyΔx＝ f(x0＋Δx)－f(x0)Δx的值；
(2)先求导函数f′(x)，再将x＝x0的值代入，即得f′(x0)的值.
2.求y＝f(x)的导函数的几种方法：
(1)利用常见函数的导数公式；
(2)利用四则运算的导数公式；
(3)利用复合函数的求导方法.
3.导数的几何意义：函数y＝f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)，就是函数y＝f(x)的曲线在点P(x0，y0)处的切线的斜率.
导数的应用(一)
典例精析
题型一 求函数f(x)的单调区间
【例1】已知函数f(x)＝x2－ax－aln(x－1)(a∈R)，求函数f(x)的单调区间.
【解析】函数f(x)＝x2－ax－aln(x－1)的定义域是(1，＋∞).
f′(x)＝2x－a－ax－1＝2x(x－a＋22)x－1，
①若a≤0，则a＋22≤1，f′(x)＝2x(x－a＋22)x－1＞0在(1，＋∞)上恒成立，所以a≤0时，f(x)的增区间为(1，＋∞).
②若a＞0，则a＋22＞1，
故当x∈(1，a＋22]时，f′(x)＝2x(x－a＋22)x－1≤0；
当x∈[a＋22，＋∞)时，f′(x)＝2x(x－a＋22)x－1≥0，
所以a＞0时，f(x)的减区间为(1，a＋22]，f(x)的增区间为[a＋22，＋∞).
【点拨】在定义域x＞1下，为了判定f′(x)符号，必须讨论实数a＋22与0及1的大小，分类讨论是解本题的关键.
【变式训练1】已知函数f(x)＝x2＋ln x－ax在(0,1)上是增函数，求a的取值范围.
【解析】因为f′(x)＝2x＋1x－a，f(x)在(0,1)上是增函数，
所以2x＋1x－a≥0在(0,1)上恒成立，
即a≤2x＋1x恒成立.
又2x＋1x≥22(当且仅当x＝22时，取等号).
所以a≤22，
故a的取值范围为(－∞，22].
【点拨】当f(x)在区间(a，b)上是增函数时?f′(x)≥0在(a，b)上恒成立；同样，当函数f(x)在区间(a，b)上为减函数时?f′(x)≤0在(a，b)上恒成立.然后就要根据不等式恒成立的条件来求参数的取值范围了.
题型二 求函数的极值
【例2】已知f(x)＝ax3＋bx2＋cx(a≠0)在x＝±1时取得极值，且f(1)＝－1.
(1)试求常数a，b，c的值；
(2)试判断x＝±1是函数的极小值点还是极大值点，并说明理由.
【解析】(1)f′(x)＝3ax2＋2bx＋c.
因为x＝±1是函数f(x)的极值点，
所以x＝±1是方程f′(x)＝0，即3ax2＋2bx＋c＝0的两根.
由根与系数的关系，得
又f(1)＝－1，所以a＋b＋c＝－1. ③
由①②③解得a＝12，b＝0，c＝－32.
(2)由(1)得f(x)＝12x3－32x，
所以当f′(x)＝32x2－32＞0时，有x＜－1或x＞1；
当f′(x)＝32x2－32＜0时，有－1＜x＜1.
所以函数f(x)＝12x3－32x在(－∞，－1)和(1，＋∞)上是增函数，在(－1,1)上是减函数.
所以当x＝－1时，函数取得极大值f(－1)＝1；当x＝1时，函数取得极小值f(1)＝－1.
【点拨】求函数的极值应先求导数.对于多项式函数f(x)来讲， f(x)在点x＝x0处取极值的必要条件是f′(x)＝0.但是， 当x0满足f′(x0)＝0时， f(x)在点x＝x0处却未必取得极 值，只有在x0的两侧f(x)的导数异号时，x0才是f(x)的极值点.并且如果f′(x)在x0两侧满足“左正右负”，则x0是f(x)的极大值点，f(x0)是极大值；如果f′(x)在x0两侧满足“左负右正”，则x0是f(x)的极小值点，f(x0)是极小值.
【变式训练2】定义在R上的函数y＝f(x)，满足f(3－x)＝f(x)，(x－32)f′(x)＜0，若x1＜x2，且x1＋x2＞3，则有( )
A. f(x1)＜f(x2)B. f(x1)＞f(x2)
C. f(x1)＝f(x2)D.不确定
【解析】由f(3－x)＝f(x)可得f[3－(x＋32)]＝f(x＋32)，即f(32－x)＝f(x＋32)，所以函数f(x)的图象关于x＝32对称.又因为(x－32)f′(x)＜0，所以当x＞32时，函数f(x)单调递减，当x＜32时，函数f(x)单调递增.当x1＋x22＝32时，f(x1)＝f(x2)，因为x1＋x2＞3，所以x1＋x22＞32，相当于x1，x2的中点向右偏离对称轴，所以f(x1)＞f(x2).故选B.
题型三 求函数的最值
【例3】 求函数f(x)＝ln(1＋x)－14x2在区间[0,2]上的最大值和最小值.
【解析】f′(x)＝11＋x－12x，令11＋x－12x＝0，化简为x2＋x－2＝0，解得x1＝－2或x2＝1，其中x1＝－2舍去.
又由f′(x)＝11＋x－12x＞0，且x∈[0,2]，得知函数f(x)的单调递增区间是(0,1)，同理， 得知函数f(x)的单调递减区间是(1,2)，所以f(1)＝ln 2－14为函数f(x)的极大值.又因为f(0)＝0，f(2)＝ln 3－1＞0，f(1)＞f(2)，所以，f(0)＝0为函数f(x)在[0,2]上的最小值，f(1)＝ln 2－14为函数f(x)在[0,2]上的最大值.
【点拨】求函数f(x)在某闭区间[a，b]上的最值，首先需求函数f(x)在开区间(a，b)内的极值，然后，将f(x)的各个极值与f(x)在闭区间上的端点的函数值f(a)、f(b)比较，才能得出函数f(x)在[a，b]上的最值.
【变式训练3】(2008江苏)f(x)＝ax3－3x＋1对x∈[－1,1]总有f(x)≥0成立，则a＝ .
【解析】若x＝0，则无论a为 何值，f(x)≥0恒成立.
当x∈(0,1]时，f(x)≥0可以化为a≥3x2－1x3，
设g(x)＝3x2－1x3，则g′(x)＝3(1－2x)x4，
x∈(0，12)时，g′(x)＞0，x∈(12，1]时，g′(x)＜0.
因此g(x)max＝g(12)＝4，所以a≥4.
当x∈[－1,0)时，f(x)≥0可以化为
a≤3x2－1x3，此时g′(x)＝3(1－2x)x4＞0，
g(x)min＝g(－1)＝4，所以a≤4.
综上可知，a＝4.
总结提高
1.求函数单调区间的步骤是：
(1)确定函数f(x)的定义域D；
(2)求导数f′(x)；
(3)根据f′(x)＞0，且x∈D，求得函数f(x)的单调递增区间；根据f′(x)＜0，且x∈D，求得函数f(x)的单调递减区间.
2.求函数极值的步骤是：
(1)求导数f′(x)；
(2)求方程f′(x)＝0的根；
(3)判断f′(x)在方程根左右的值的符号，确定f(x)在这个根处取极大值还是取极小值.
3.求函数最值的步骤是：
先求f(x)在(a，b)内的极值；再将f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)、f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.
3.3 导数的应用(二)
典例精析
题型一 利用导数证明不等式
【例1】已知函数f(x)＝12x2＋ln x.
(1)求函数f(x)在区间[1，e]上的值域；
(2)求证：x＞1时，f(x)＜23x3.
【解析】(1)由已知f′(x)＝x＋1x，
当x∈[1，e]时，f′(x)＞0，因此f(x)在 [1，e]上为增函数.
故f(x)max＝f(e)＝e22＋1，f(x)min＝f(1)＝12，
因而f(x)在区间[1，e]上的值域为[12，e22＋1].
(2)证明：令F(x)＝f(x)－23x3＝－23x3＋12x2＋ln x，则F′(x)＝x＋1x－2x2＝(1－x)(1＋x＋2x2)x，
因为x＞1，所以F′(x)＜0，
故F(x)在(1，＋∞)上为减函数.
又F(1)＝－16＜0，
故x＞1时，F(x)＜0恒成立，
即f(x)＜23x3.
【点拨】有关“超越性不等式”的证明，构造函数，应用导数确定所构造函数的单调性是常用的证明方法.
【变式训练1】已知对任意实数x，有f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x)，且x＞0时，f′(x)＞0，g′(x)＞0，则x＜0时( )
A.f′(x)＞0，g′(x)＞0B.f′(x)＞0，g′(x)＜0
C.f′(x)＜0，g′(x)＞0D.f′(x)＜0，g′(x)＜0
【解析】选B.
题型二 优化问题
【例2】 (2009湖南)某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两个桥墩相距m米，余下工程只需建两端桥墩之间的桥面和桥墩.经测算，一个桥墩的工程费用为256万元；距离为x米的相邻两墩之间的桥面工程费用为(2＋x)x万元.假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素.记余下工程的费用为y万元.
(1)试写出y关于x的函数关系式；
(2)当m＝640米时，需新建多少个桥墩才能使y最小？
【解析】(1)设需新建n个桥墩，则(n＋1)x＝m，
即n＝mx－1.
所以y＝f(x)＝256n＋(n＋1)(2＋x)x
＝256(mx－1)＋mx(2＋x)x
＝256mx＋mx＋2m－256.
(2)由(1)知f′(x)＝－256mx2＋12mx ＝m2x2(x －512).
令f′(x)＝0，得x ＝512.所以x＝64.
当0＜x＜64时，f′(x)＜0，f(x)在区间(0,64)内为减函数；当64＜x＜640时，f′(x)＞0，f(x)在区间(64,640)内为增函数.
所以f(x)在x＝64处取得最小值.
此时n＝mx－1＝64064－1＝9.
故需新建9个桥墩才能使y最小.
【变式训练2】(2010上海)如图所示，为了制作一个圆柱形灯笼，先要制作4个全等的矩形骨架，总计耗用9.6米铁丝，骨架把圆柱底面8等份，再用S平方米塑料片制成圆柱的侧面和下底面(不安装上底面).当圆柱底面半径r取何值时，S取得最大值？并求出该最大值(结果精确到0.01平方米).
【解析】设圆柱底面半径为r，高为h，
则由已知可得4(4r＋2h)＝9.6，所以2r＋h＝1.2.
S＝2.4πr－3πr2，h＝1.2－2r＞0，所以r＜0.6.
所以S＝2.4πr－3πr2(0＜r＜0.6).
令f(r)＝2.4πr－3πr2，则f′(r)＝2 .4π－6πr.
令f′(r)＝0得r＝0.4.所以当0＜r＜0.4，f′(r)＞0；
当0.4＜r＜0.6，f′(r)＜0.
所以r＝0.4时S最大，Smax＝1.51.
题型三 导数与函数零点问题
【例3】 设函数f(x)＝13x3－mx2＋(m2－4)x，x∈R.
(1)当m＝3时，求曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程；
(2)已知函数f(x)有三个互不相同的零点0，α，β，且α＜β.若对任意的x∈[α，β]，都有f(x)≥f(1)恒成立，求实数m的取值范围.
【解析】(1)当m＝3时，f(x)＝13x3－3x2＋5x，f′(x)＝x2－6x＋5.
因为f(2)＝23，f′(2)＝－3，所以切点坐标为(2，23)，切线的斜率为－3，
则所求的切线方程为y－23＝－3(x－2)，即9x＋3y－20＝0.
(2)f′(x)＝x2－2mx＋(m2－4).
令f′(x)＝0，得x＝m－2或x＝m＋2.
当x∈(－∞，m－2)时，f′(x)＞0，f(x)在(－∞，m－2)上是增函数；
当x∈(m－2，m＋2)时，f′(x)＜0，f(x)在(m－2，m＋2)上是减函数；
当x∈(m＋2，＋∞)时，f′(x)＞0，f(x)在(m＋2，＋∞)上是增函数.
因为函数f(x)有三个互不 相同的零点0，α，β，且f(x)＝13x[x2－3mx＋3(m2－4)]，
所以
解得m∈(－4，－2)∪(－2,2)∪(2,4).
当m∈(－4，－2)时，m－2＜m＋2＜0，
所以α＜m－2＜β＜m＋2＜0.
此时f(α)＝0，f(1)＞f(0)＝0，与题意不合，故舍去.
当m∈(－2,2)时，m－2＜0＜m＋2，
所以α＜m－2＜0＜m＋2＜β.
因为对任意的x∈[α，β]，都有f(x)≥f(1)恒成立，
所以α＜1＜β.
所以f(1)为函数f(x)在[α，β]上的最小值.
因为当x＝m＋2时，函数f(x)在[α，β]上取最小值，
所以m＋2＝1，即m＝－1.
当m∈(2,4)时，0＜m－2＜m＋2，
所以0＜m－2＜α＜m＋2＜β.
因为对任意的x∈[α，β]，都有f(x)≥f(1)恒成立，
所以α＜1＜β.
所以f(1)为函数f(x)在[α，β]上的最小值.
因为当x＝m＋2时，函数f(x)在[α，β]上取最小值，
所以m＋2＝1，即m＝－1(舍去).
综上可知，m的取值范围是{－1}.
【变式训练3】已知f(x)＝ax2(a∈R)，g(x)＝2ln x.
(1)讨论函数F(x)＝f(x)－g(x)的单调性；
(2)若方程f(x)＝g(x)在区间[2，e]上有两个不等解，求a的取值范围.
【解析】(1)当a＞0时，F(x)的递增区间为(1a，＋∞)，递 减区间为(0，1a)；
当a≤0时，F(x)的递减区间为(0，＋∞).
(2)[12ln 2，1e).
总结提高
在应用导数处理方程、不等式有关问题时，首先应熟练地将方程、不等式问题直接转化为函数问题，再利用导数确定函数单调性、极值或最值.
3.4 定积分与微积分基本定理
典例精析
题型一 求常见函数的定积分
【例1】 计算下列定积分的值.
(1) (x－1)5dx；
(2) (x＋sin x)dx.
【解析】(1)因为[16(x－1)6]′＝(x－1)5，
所以 (x－1)5dx＝ ＝16.
(2)因为(x22－cos x)′＝x＋sin x，
所以 (x＋sin x)dx＝ ＝π28＋1.
【点拨】(1)一般情况下，只要能找到被积函数的原函数，就能求出定积分的值；
(2)当被积函数是分段函数时，应对每个区间分段积分，再求和；
(3)对于含有绝对值符号的被积函数，应先去掉绝对值符号后积分；
(4)当被积函数具有奇偶性时，可用以下结论：
①若f(x)是偶函数 时，则 f(x)dx＝2 f(x)dx；
②若f(x)是奇函数时，则 f(x)dx＝0.
【变式训练1】求 (3x3＋4sin x)dx.
【解析】 (3x3＋4sin x)dx表示直线x＝－5，x＝5，y＝0和曲线 y＝3x3＋4sin x所围成的曲边梯形面积的代数和，且在x轴上方 的面积取正号，在x轴下方的面积取负号.
又f(－x)＝3(－x)3＋4sin(－x)
＝－(3x3＋4sin x)＝－f(x).
所以f(x)＝3x3＋4sin x在[－5,5]上是奇函数，
所以 (3x3＋4sin x)dx＝－ (3x3＋4sin x)dx，
所以 (3x3＋4sin x)dx＝ (3x3＋4sin x)dx＋ (3x3＋4sin x)dx＝0.
题型二 利用定积分计算曲边梯形的面积
【例2】求抛物线y2＝2x与直线y＝4－x所围成的平面图形的面积.
【解析】方法一：如图，
由
得交点A(2,2)，B(8，－4)，
则S＝ [2x－(－2x)]dx＋ [4－x－(－2x)]dx
＝163＋383＝18.
方法二：S＝ [(4－y)－y22]dy
＝ ＝18.
【点拨】根据图形的特征，选择不同的积分变量，可使计算简捷，在以y为积分变量时，应注意将曲线方程变为x＝φ(y)的形式，同时，积分上、下限必须对应y的取值.
【变式训练2】设k 是一个正整数，(1＋xk)k的展开式中x3的系数为116，则函数y＝x2与y＝kx－3的图象所围成的阴影部分(如图)的面积为 .
【解析】Tr＋1＝Crk(xk)r，令r＝3，得x3的系数为C3k1k3＝116，解得k＝4.由 得函数y＝x2与y＝4x－3的图象的交点的横坐标分别为1,3.
所以阴影部分的面积为S＝ (4x－3－x2)dx＝(2x2－3x－ ＝43.
题型三 定积分在物理中的应用
【例3】 (1) 变速直线运动的物体的速度为v (t)＝1－t2，初始位置为x0＝1，求它在前2秒内所走过的路程及2秒末所在的位置；
(2)一物体按规律x＝bt3作直线运动，式中x为时间t内通过的距离，媒质的阻力正比于速度的平方，试求物体由x＝0运动到x＝a时阻力所做的功.
【解析】(1)当0≤t≤1时，v(t)≥0，当1≤t≤2时，v(t)≤0，所以前2秒内所走过的路程为
s＝ v(t)dt＋ (－v(t))dt
＝ (1－t2)dt＋ (t2－1)dt
= ＋ ＝2.
2秒末所在的位置为
x1＝x0＋ v(t)dt＝1＋ (1－t2)dt＝13.
所以它在前2秒内所走过的路程为2,2秒末所在的位置为x1＝13.
(2) 物体的速度为v＝(bt3)′＝3bt2.
媒质阻力F阻＝kv2＝k(3bt2)2＝9kb2t4，其中k为比例常数，且k＞0.
当x＝0时，t＝0；
当x＝a时，t＝t1＝(ab) ，
又ds＝vdt，故阻力所做的功为
W阻＝ ds ＝ kv2?vdt＝k v3dt
＝ k (3bt 2)3dt＝277kb3t71 ＝ 277k3a7b2.
【点拨】定积分在物理学中的应用应注意：v(t)＝ a(t)dt，s(t)＝ v(t)dt和W＝ F(x)dx这三个公式.
【变式训练3】定义F(x，y)＝(1＋x)y，x，y∈(0，＋∞).令函数f(x)＝F[1，log2(x2－4x＋9)]的图象为曲线C1，曲线C1与y轴交于点A(0，m)，过坐标原点O向曲线C1作切线，切点为B(n，t)(n＞0)，设曲线C1在点A，B之间的曲线段与线段OA，OB所围成图形的面积为S，求S的值.
【解析】因为F(x，y)＝(1＋x)y，所以f(x)＝F(1，log2(x2－4x＋9))＝ ＝x2－4x＋9，故A(0,9)，又过坐标原点O向曲线C1作切线，切点为B(n，t)(n＞0)，f′(x)＝2x－4.
所以 解得B(3,6)，
所以S＝ (x2－4x＋9－2x)dx＝(x33－3x2＋9x) =9.
总结提高
1.定积分的计算关键是通过逆向思维求得被积函数的原函数.?
2.定积分在物理学中的应用必须遵循相应的物理过程和物理原理.?
3.利用定积分求平面图形面积的步骤：?
（1）画出草图，在直角坐标系中画出曲线或直线的大致图象；?
（2）借助图形确定出被积函数，求出交点坐标，确定积分的上、下限；?
（3）把曲边梯形的面积表示成若干个定积分的和；?
2016届高三数学概率统计总复习
高三特长班数学复习 概率统计（一）
一、知识梳理
1.三种抽样方法的联系与区别：
类别共同点不同点相互联系适用范围
简单随机抽样都是等概率抽样从总体中逐个抽取总体中个体比较少
系统抽样将总体均匀分成若干部分；按事先确定的规则在各部分抽取在起始部分采用简单随机抽样总体中个体比较多
分层抽样将总体分成若干层，按个体个数的比例抽取在各层抽样时采用简单随机抽样或系统抽样总体中个体有明显差异
（1）从含有N个个体的总体中抽取n个个体的样本，每个个体被抽到的概率为
（2）系统抽样的步骤： ①将总体中的个体随机编号；②将编号分段；③在第1段中用简单随机抽样确定起始的个体编号；④按照事先研究的规则抽取样本.
（3）分层抽样的步骤：①分层；②按比例确定每层抽取个体的个数；③各层抽样；④汇合成样本.
（4） 要懂得从图表中提取有用信息
如：在频率分布直方图中①小矩形的面积=组距 =频率②众数是最高矩形的中点的横坐标③中位数的左边与右边的直方图的面积相等，可以由此估计中位数的值
2.方差和标准差都是刻画数据波动大小的数字特征，一般地，设一组样本数据 ， ，…， ，其平均数为 则方差 ，标准差
3.古典概型的概率公式：如果一次试验中可能出现的结果有 个，而且所有结果都是等可能的，如果事件 包含 个结果，那么事件 的概率P=
特别提醒：古典概型的两个共同特点：
○1 ，即试中有可能出现的基本事件只有有限个，即样本空间Ω中的元素个数是有限的；
○2 ，即每个基本事件出现的可能性相等。
4. 几何概型的概率公式： P（A）=
特别提醒：几何概型的特点：试验的结果是无限不可数的；○2每个结果出现的可能性相等。
二、夯实基础
（1）某单位有职工160名，其中业务人员120名，管理人员16名，后勤人员24名.为了解职工的某种情况，要从中抽取一个容量为20的样本.若用分层抽样的方法，抽取的业务人员、管理人员、后勤人员的人数应分别为____________.
（2）某赛季，甲、乙两名篮球运动员都参加了
11场比赛，他们所有比赛得分的情况用如图2所示的茎叶图表示，
则甲、乙两名运动员得分的中位数分别为（ ）
A．19、13 B．13、19 C．20、18 D．18、20
（3）统计某校1000名学生的数学会考成绩，
得到样本频率分布直方图如右图示，规定不低于60分为
及格，不低于80分为优秀，则及格人数是 ；
优秀率为 。
（4）在一次歌手大奖赛上，七位评委为歌手打出的分数如下：
9.4 8.4 9.4 9.9 9.6 9.4 9.7
去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均值
和方差分别为（ ）
A．9.4, 0.484 B．9.4, 0.016 C．9.5, 0.04 D．9.5, 0.016
（5）将一颗骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，则以第一次向上点数为横坐标x，第二次向上的点数为纵坐标y的点(x,y)在圆x2+y2=27的内部的概率________.
（6）在长为12cm的线段AB上任取一点M，并且以线段AM为边的正方形，则这正方形的面积介于36cm2与81cm2之间的概率为（ ）
三、高考链接
07、某班50名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13秒与19秒之间，将测试结果按如下方式分成六组：第一组，成绩大于等于13秒且小于14秒；第二组，成绩大于等于14秒且小于15秒
； 第六组，成绩大于等于18秒且小于等于19秒．右图
是按上述分组方法得到的频率分布直方图．设成绩小于17秒
的学生人数占全班总人数的百分比为 ，成绩大于等于15秒
且小于17秒的学生人数为 ，则从频率分布直方图中可分析
出 和 分别为（ ）
08、从某项综合能力测试中抽取100人的成绩，统计如表，则这100人成绩的标准差为（ ）
分数54321
人数2010303010
09、在区间 上随机取一个数x， 的值介于0到 之间的概率为( ).
08、现有8名奥运会志愿者，其中志愿者 通晓日语， 通晓俄语， 通晓韩语．从中选出通晓日语、俄语和韩语的志愿者各1名，组成一个小组．
（Ⅰ）求 被选中的概率；（Ⅱ）求 和 不全被选中的概率．
2016届高考数学第一轮立体几何专项复习：平面与平面的位置关系
1.2.4 平面与平面的位置关系
第1课时 两平面平行的判定及性质
【课时目标】 1．理解并掌握两个平面平行、两个平面相交的定义．2．掌握两个平面平行的判定和性质定理，并能运用其解决一些具体问题．
1．平面与平面平行的判定定理
如果一个平面内有________________都平行于另一个平面，那么这两个平面平行．用符号表示为________________________．
2．平面与平面平行的性质定理：
如果两个平行平面同时和第三个平面相交，________________________．
符号表示为：________________?a∥b．
3．面面平行的其他性质：
(1)两平面平行，其中一个平面内的任一直线平行于________________，即α∥βa?α?
________，可用来证明线面平行；
(2)夹在两个平行平面间的平行线段________；
(3)平行于同一平面的两个平面________．
一、填空题
1．平面α∥平面β，a?α，b?β，则直线a、b的位置关系是__________．
2．下列各命题中假命题有________个．
①平行于同一直线的两个平面平行；
②平行于同一平面的两个平面平行；
③一条直线与两个平行平面中的一个相交，那么这条直线必和另一个相交；
④若平面α内两条直线与平面β内两条直线分别平行，则α∥β．
3．过正方体ABCD－A1B1C1D1的三个顶点A1、C1、B的平面与底面ABCD所在平面的交线为l，则l与A1C1的位置关系是________．
4．α和β是两个不重合的平面，在下列条件中，可判定α∥β的是________．(填序号)
①α内有无数条直线平行于β；
②α内不共线三点到β的距离相等；
③l、m是平面α内的直线，且l∥α，m∥β；
④l、m是异面直线且l∥α，m∥α，l∥α，m∥β．
5．已知α∥β且α与β间的距离为d，直线a与α相交于点A、与β相交于B，若AB＝233d，则直线a与α所成的角等于________．
6．如图所示，P是三角形ABC所在平面外一点，平面α∥平面ABC，α分别交线段PA、PB、PC于A′、B′、C′，若PA′∶AA′＝2∶3，则S△A′B′C′∶S△ABC＝________．
7．α，β，γ为三个不重合的平面，a，b，c为三条不同的直线，则有下列命题，不正确的是________(填序号)．
①a∥cb∥c?a∥b； ②a∥γb∥γ?a∥b；
③α∥cβ∥c?α∥β； ④α∥γβ∥γ?α∥β；
⑤α∥ca∥c?α∥a; ⑥α∥γa∥γ?a∥α．
8．已知平面α∥平面β，P是α，β外一点，过点P的直线m与α，β分别交于点A，C，过点P的直线n与α，β分别交于点B，D，且PA＝6，AC＝9，PD＝8，则BD的长为________．
9．如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F、G、H分别是棱CC1、C1D1、D1D、CD的中点，N是BC的中点，点M在四边形EFGH及其内部运动，则M满足________时，有MN∥平面B1BDD1．
二、解答题
10．如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，S是B1D1的中点，E、F、G分别是BC、DC和SC的中点．求证：平面EFG∥平面BDD1B1．
11．如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，M是A1C1的中点，平面AB1M∥平面BC1N，AC∩平面BC1N＝N．
求证：N为AC的中点．
能力提升
12．如图所示，已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，面对角线AB1，BC1上分别有两点E、F，且B1E＝C1F．求证：EF∥平面ABCD．
13．如图所示，B为△ACD所在平面外一点，M，N，G分别为△ABC，△ABD，△BCD的重心．
(1)求证平面MNG∥平面ACD；
(2)求S△MNG∶S△ADC．
1．判定平面与平面平行的常用方法有：(1)利用定义，证明两个平面没有公共点，常用反证法．(2)利用判定定理．(3)利用平行平面的传递性，即α∥β，β∥γ，则α∥γ．
2．平面与平面平行主要有以下性质：(1)面面平行的性质定理．(2)两个平面平行，其中一个平面内的任一直线平行于另一个平面．(3)夹在两个平行平面之间的平行线段相等．
1．2．4 平面与平面的位置关系
第1课时 两平面平行的判定及性质
答案
知识梳理
1．两条相交直线
a?α，b?α，a∩b＝A，a∥β，b∥β?α∥β
2．那么所得的两条交线平行 α∥βα∩γ＝aβ∩γ＝b
3．(1)另一个平面 a∥β (2)相等 (3)平行
作业设计
1．平行或异面 2．2
3．平行
解析 由面面平行的性质可知第三平面与两平行平面的交线是平行的．
4．④ 5．60°
6．4∶25
解析 面α∥面ABC，面PAB与它们的交线分别为A′B′，AB，∴AB∥A′B′，同理B′C′∥BC，
易得△ABC∽△A′B′C′，
S△A′B′C′∶S△ABC＝(A′B′AB)2＝(PA′PA)2＝425．
7．②③⑤⑥
解析 由公理4及平行平面的传递性知①④正确．举反例知②③⑤⑥不正确．②中a，b可以相交，还可以异面；③中α，β可以相交；⑤中a可以在α内；⑥中a可以在α内．
8．24或245
解析 当P点在平面α和平面β之间时，由三角形相似可求得BD＝24，当平面α和平面β在点P同侧时可求得BD＝245．
9．M∈线段FH
解析 ∵HN∥BD，HF∥DD1，
HN∩HF＝H，BD∩DD1＝D，
∴平面NHF∥平面B1BDD1，
故线段FH上任意点M与N连结，
有MN∥平面B1BDD1．
10．
证明 如图所示，连结SB，SD，
∵F、G分别是DC、SC的中点，
∴FG∥SD．
又∵SD?平面BDD1B1，FG?平面BDD1B1，
∴直线FG∥平面BDD1B1．
同理可证EG∥平面BDD1B1，
又∵EG?平面EFG，
FG?平面EFG，
EG∩FG＝G，
∴平面EFG∥平面BDD1B1．
11．证明 ∵平面AB1M∥平面BC1N，
平面ACC1A1∩平面AB1M＝AM，
平面BC1N∩平面ACC1A1＝C1N，
∴C1N∥AM，又AC∥A1C1，
∴四边形ANC1M为平行四边形，
∴AN?C1M＝12A1C1＝12AC，
∴N为AC的中点．
12．证明 方法一 过E、F分别作AB、BC的垂线，EM、FN分别交AB、BC于M、N，连结MN．
∵BB1⊥平面ABCD，
∴BB1⊥AB，BB1⊥BC，
∴EM∥BB1，FN∥BB1，
∴EM∥FN，
∵AB1＝BC1，B1E＝C1F，
∴AE＝BF，
又∠B1AB＝∠C1BC＝45°，
∴Rt△AME≌Rt△BNF，
∴EM＝FN．
∴四边形MNFE是平行四边形，
∴EF∥MN．
又MN?平面ABCD，EF?平面ABCD，
∴EF∥平面ABCD．
方法二
过E作EG∥AB交BB1于G，连结GF，
∴B1EB1A＝B1GB1B，B1E＝C1F，B1A＝C1B，∴C1FC1B＝B1GB1B，
∴FG∥B1C1∥BC．
又∵EG∩FG＝G，AB∩BC＝B，
∴平面EFG∥平面ABCD．
又EF?平面EFG，∴EF∥平面ABCD．
13．(1)证明 (1)连结BM，BN，BG并延长分别交AC，AD，CD于P，F，H．
∵M，N，G分别为△ABC，△ABD，△BCD的重心，
则有BMMP＝BNNF＝BGGH＝2，
且P，H，F分别为AC，CD，AD的中点．
连结PF，FH，PH，有MN∥PF．
又PF?平面ACD，MN?平面ACD，
∴MN∥平面ACD．
同理MG∥平面ACD，MG∩MN＝M，
∴平面MNG∥平面ACD．
(2)解 由(1)可知MGPH＝BGBH＝23，
∴MG＝23PH．
又PH＝12AD，∴MG＝13AD．
同理NG＝13AC，MN＝13CD．
∴△MNG∽△ACD，其相似比为1∶3．
∴S△MNG∶S△ACD＝1∶9．
第2课时 两平面垂直的判定
【课时目标】 1．掌握二面角、二面角的平面角的概念，会求简单的二面角的大小．2．掌握两个平面互相垂直的概念，并能利用判定定理判定两个平面垂直．
1．二面角：一条直线和由这条直线出发的____________所组成的图形叫做二面角．______________叫做二面角的棱．________________叫做二面角的面．二面角α的范围为________________．
2．平面与平面的垂直
①定义：如果两个平面所成的二面角是__________，就说这两个平面互相垂直．
②面面垂直的判定定理
文字语言：如果一个平面经过另一个平面的一条______，那么这两个平面互相垂直．符号表示：l⊥α ?α⊥β．
一、填空题
1．下列命题：
①两个相交平面组成的图形叫做二面角；
②异面直线a、b分别和一个二面角的两个面垂直，则a、b组成的角与这个二面角的平面角相等或互补；
③二面角的平面角是从棱上一点出发，分别在两个面内作射线所成角的最小角；
④二面角的大小与其平面角的顶点在棱上的位置没有关系．
其中正确的是________(填序号)．
2．若平面α与平面β不垂直，那么平面α内能与平面β垂直的直线有________条．
3．设有直线m、n和平面α、β，则下列结论中正确的是________(填序号)．
①若m∥n，n⊥β，m?α，则α⊥β；
②若m⊥n，α∩β＝m，n?α，则α⊥β；
③若m⊥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥β．
4．过两点与一个已知平面垂直的平面有________个．
5．在边长为1的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，把菱形沿对角线AC折起，使折起后BD＝32，则二面角B－AC－D的大小为________．
6．在正四面体P－ABC中，D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，下面四个结论中成立的是________(填序号)．
①BC∥面PDF; ②DF⊥面PAE；
③面PDF⊥面ABC; ④面PAE⊥面ABC．
7．过正方形ABCD的顶点A作线段AP⊥平面ABCD，且AP＝AB，则平面ABP与平面CDP所成的二面角的度数是________．
8．如图所示，已知PA⊥矩形ABCD所在的平面，图中互相垂直的平面有________对．
9．已知α、β是两个不同的平面，m、n是平面α及β之外的两条不同直线，给出四个论断：
①m⊥n；②α⊥β；③n⊥β；④m⊥α．
以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题：____________．
二、解答题
10．如图所示，在空间四边形ABCD中，AB＝BC，CD＝DA，E、F、G分别为CD、DA和对角线AC的中点．
求证：平面BEF⊥平面BGD．
11．如图所示，四棱锥P—ABCD的底面ABCD是边长为1的菱形，∠BCD＝60°，E是CD的中点，PA⊥底面ABCD，PA＝3．
(1)证明：平面PBE⊥平面PAB；
(2)求二面角A—BE—P的大小．
能力提升
12．如图，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，E、F分别是A1B、A1C的中点，点D在B1C1上，A1D⊥B1C．
求证：(1)EF∥平面ABC；
(2)平面A1FD⊥平面BB1C1C．
13．如图，在三棱锥P—ABC中，PA⊥底面ABC，PA＝AB，∠ABC＝60°，∠BCA＝90°，点D、E分别在棱PB、PC上，且DE∥BC．
(1)求证：BC⊥ 平面PAC．
(2)是否存在点E使得二面角A—DE—P为直二面角？并说明理由．
1．证明两个平面垂直的主要途径
(1)利用面面垂直的定义，即如果两个相交平面的交线与第三个平面垂直，又这两个平面与第三个平面相交所得的两条交线互相垂直，就称这两个平面互相垂直．
(2)面面垂直的判定定理，即如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直．
2．利用面面垂直的判定定理证明面面垂直时的一般方法：先从现有的直线中寻找平面的垂线，若图中存在这样的直线，则可通过线面垂直来证明面面垂直；若图中不存在这样的直线，则可通过作辅助线来解决，而作辅助线则应有理论依据并有利于证明，不能随意添加．
3．证明两个平面垂直，通常是通过证明线线垂直→线面垂直→面面垂直来实现的，因此，在关于垂直问题的论证中要注意线线垂直、线面垂直、面面垂直的相互转化．每一垂直的判定都是从某一垂直开始转向另一垂直，最终达到目的的．
第2课时 两平面垂直的判定 答案
知识梳理
1．两个半平面 这条直线 每个半平面 0°≤α≤180°
2．①直二面角 ②垂线 l?β
作业设计
1．②④
解析 ①不符合二面角定义，③从运动的角度演示可知，二面角的平面角不是最小角．
2．0
解析 若存在1条，则α⊥β，与已知矛盾．
3．①③
解析 ②错，当两平面不垂直时，在一个平面内可以找到无数条直线与两个平面的交线垂直．
4．1或无数
解析 当两点连线与平面垂直时，有无数个平面与已知平面垂直，当两点连线与平面不垂直时，有且只有一个平面与已知平面垂直．
5．60°
解析
如图所示，由二面角的定义知∠BOD即为二面角的平面角．
∵DO＝OB＝BD＝32，
∴∠BOD＝60°．
6．①②④
解析
如图所示，∵BC∥DF，
∴BC∥平面PDF．
∴①正确．
由BC⊥PE，BC⊥AE，
∴BC⊥平面PAE．
∴DF⊥平面PAE．
∴②正确．
∴平面ABC⊥平面PAE(BC⊥平面PAE)．
∴④正确．
7．45°
解析 可将图形补成以AB、AP为棱的正方体，不难求出二面角的大小为45°．
8．5
解析 由PA⊥面ABCD知面PAD⊥面ABCD，面PAB⊥面ABCD，
又PA⊥AD，PA⊥AB且AD⊥AB，
∴∠DAB为二面角D—PA—B的平面角，
∴面DPA⊥面PAB．又BC⊥面PAB，
∴面PBC⊥面PAB，同理DC⊥面PDA，
∴面PDC⊥面PDA．
9．①③④?②(或②③④?①)
10．证明 ∵AB＝BC，CD＝AD，G是AC的中点，
∴BG⊥AC，DG⊥AC，
∴AC⊥平面BGD．
又EF∥AC，∴EF⊥平面BGD．
∵EF?平面BEF，∴平面BEF⊥平面BGD．
11．(1)证明 如图所示，连结BD，由ABCD是菱形且∠BCD＝60°知，△BCD是等边三角形．
因为E是CD的中点，所以BE⊥CD．
又AB∥CD，所以BE⊥AB．
又因为PA⊥平面ABCD，
BE?平面ABCD，
所以PA⊥BE．而PA∩AB＝A，
因此BE⊥平面PAB．
又BE?平面PBE，
所以平面PBE⊥平面PAB．
(2)解 由(1)知，BE⊥平面PAB，PB?平面PAB，
所以PB⊥BE．又AB⊥BE，
所以∠PBA是二面角A—BE—P的平面角．
在Rt△PAB中，tan∠PBA＝PAAB＝3，
则∠PBA＝60°．
故二面角A—BE—P的大小是60°．
12．证明 (1)由E、F分别是A1B、A1C的中点知
EF∥BC．
因为EF?平面ABC．
BC?平面ABC．
所以EF∥平面ABC．
(2)由三棱柱ABC—A1B1C1为直三棱柱知
CC1⊥平面A1B1C1．
又A1D?平面A1B1C1，故CC1⊥A1D．
又因为A1D⊥B1C，CC1∩B1C＝C，故A1D⊥平面BB1C1C，又A1D?平面A1FD，
所以平面A1FD⊥平面BB1C1C．
13．(1)证明 ∵PA⊥底面ABC，
∴PA⊥BC．
又∠BCA＝90°，
∴AC⊥BC．又∵AC∩PA＝A，
∴BC⊥平面PAC．
(2)解 ∵DE∥BC，又由(1)知，
BC⊥平面PAC，
∴DE⊥平面PAC．
又∵AE?平面PAC，PE?平面PAC，
∴DE⊥AE，DE⊥PE．
∴∠AEP为二面角A—DE—P的平面角．
∵PA⊥底面ABC，
∴PA⊥AC，∴∠PAC＝90°．
∴在棱PC上存在一点E，
使得AE⊥PC．
这时∠AEP＝90°，
故存在点E，使得二面角A—DE—P为直二面角．
第3课时 两平面垂直的性质
【课时目标】 1．理解平面与平面垂直的性质定理．2．能应用面面垂直的性质定理证明空间中线、面的垂直关系．
3．理解线线垂直、线面垂直、面面垂直的内在联系．
1．平面与平面垂直的性质定理：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内________于它们________的直线垂直于另一个平面．
用符号表示为：α⊥β，α∩β＝l，a?α，a⊥l?________．
2．两个重要结论：
(1)如果两个平面互相垂直，那么经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线在________________________________________________________________________．
图形表示为：
符号表示为：α⊥β，A∈α，A∈a，a⊥β?________．
(2)已知平面α⊥平面β，a?α，a⊥β，那么__________(a与α的位置关系)．
一、填空题
1．平面α⊥平面β，a?α，b?β，且b∥α，a⊥b，则a和β的位置关系是________．
2．已知三条不重合的直线m、n、l，两个不重合的平面α，β，有下列命题：
①若m∥n，n?α，则m∥α；
②若l⊥α，m⊥β且l∥m，则α∥β；
③若m?α，n?α，m∥β，n∥β，则α∥β；
④若α⊥β，α∩β＝m，n?β，n⊥m，则n⊥α．
其中正确的命题是________(填序号)．
3．若平面α与平面β不垂直，那么平面α内能与平面β垂直的直线有________条．
4．设α－l－β是直二面角，直线a?α，直线b?β，a，b与l都不垂直，那么下列说法正确的序号为________．
①a与b可能垂直，但不可能平行；
②a与b可能垂直，也可能平行；
③a与b不可能垂直，但可能平行；
④a与b不可能垂直，也不可能平行．
5．如图，两个正方形ABCD和ADEF所在平面互相垂直，设M、N分别是BD和AE的中点，那么①AD⊥MN；②MN∥平面CDE；③MN∥CE；④MN、CE异面．
其中结论正确的是________(填序号)．
6．
如图所示，平面α⊥平面β，A∈α，B∈β，AB与两平面α、β所成的角分别为π4和π6．过A、B分别作两平面交线的垂线，垂足分别为A′、B′，则AB∶A′B′＝________．
7．若α⊥β，α∩β＝l，点P∈α，PD/∈l，则下列命题中正确的为________．(只填序号)
①过P垂直于l的平面垂直于β；
②过P垂直于l的直线垂直于β；
③过P垂直于α的直线平行于β；
④过P垂直于β的直线在α内．
8．α、β、γ是两两垂直的三个平面，它们交于点O，空间一点P到α、β、γ的距离分别是2 cm、3 cm、6 cm，则点P到O的距离为________ cm．
9．在斜三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，则点C1在底面ABC上的射影H必在________．
二、解答题
10．如图，在三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，平面PAB⊥平面PBC．
求证：BC⊥AB．
11．如图所示，P是四边形ABCD所在平面外的一点，四边形ABCD是∠DAB＝60°且边长为a的菱形．侧面PAD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD．
(1)若G为AD边的中点，求证：BG⊥平面PAD；
(2)求证：AD⊥PB．
能力提升
12．如图所示，四棱锥P—ABCD的底面是边长为a的菱形，∠BCD＝120°，平面PCD⊥平面ABCD，PC＝a，PD＝2a，E为PA的中点．求证：平面EDB⊥平面ABCD．
13．如图所示，在多面体P—ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB∥DC，△PAD是等边三角形，已知BD＝2AD＝8，AB＝45．
(1)设M是PC上的一点，
求证：平面MBD⊥平面PAD；
(2)求P点到平面ABCD的距离．
1．运用两个平面垂直的性质定理时，一般需要作辅助线，其基本作法是过其中一个平面内一点在此平面内作交线的垂线，这样，就把面面垂直转化为线面垂直或线线垂直．
2．无论从判定还是从性质来看，线线垂直、线面垂直和面面垂直都是密切相关的，面对复杂的空间图形，要善于发现它们之间的内在联系，找出解决问题的切入点，垂直关系的转化为：
第3课时 两平面垂直的性质 答案
知识梳理
1．垂直 交线 a⊥β
2．(1)第一个平面内 a?α (2)a∥α
作业设计
1．a⊥β
2．②④
3．0
解析 若存在1条，则α⊥β，与已知矛盾．
4．③
5．①②③
6．2∶1
解析 如图：
由已知得AA′⊥面β，
∠ABA′＝π6，
BB′⊥面α，∠BAB′＝π4，
设AB＝a，则BA′＝32a，BB′＝22a，
在Rt△BA′B′中，A′B′＝12a，∴ABA′B′＝21．
7．①③④
解析 由性质定理知②错误．
8．7
解析 P到O的距离恰好为以2 cm,3 cm,6 cm为长、宽、高的长方体的对角线的长．
9．直线AB上
解析 由AC⊥BC1，AC⊥AB，
得AC⊥面ABC1，又AC?面ABC，
∴面ABC1⊥面ABC．
∴C1在面ABC上的射影H必在交线AB上．
10．证明 在平面PAB内，作AD⊥PB于D．
∵平面PAB⊥平面PBC，
且平面PAB∩平面PBC＝PB．
∴AD⊥平面PBC．
又BC?平面PBC，
∴AD⊥BC．
又∵PA⊥平面ABC，
BC?平面ABC，
∴PA⊥BC，∴BC⊥平面PAB．
又AB?平面PAB，
∴BC⊥AB．
11．证明
(1)连结PG，由题知△PAD为正三角形，G是AD的中点，
∴PG⊥AD．
又平面PAD⊥平面ABCD，
∴PG⊥平面ABCD，
∴PG⊥BG．
又∵四边形ABCD是菱形且∠DAB＝60°，
∴BG⊥AD．
又AD∩PG＝G，∴BG⊥平面PAD．
(2)由(1)可知BG⊥AD，PG⊥AD．
所以AD⊥平面PBG，所以AD⊥PB．
12．
证明 设AC∩BD＝O，
连结EO，
则EO∥PC．∵PC＝CD＝a，
PD＝2a，
∴PC2＋CD2＝PD2，
∴PC⊥CD．
∵平面PCD⊥平面ABCD，CD为交线，
∴PC⊥平面ABCD，
∴EO⊥平面ABCD．
又EO?平面EDB，
∴平面EDB⊥平面ABCD．
13．(1)证明 在△ABD中，
∵AD＝4，BD＝8，AB＝45，
∴AD2＋BD2＝AB2．∴AD⊥BD．
又∵面PAD⊥面ABCD，
面PAD∩面ABCD＝AD，
BD?面ABCD，
∴BD⊥面PAD，又BD?面BDM，
∴面MBD⊥面PAD．
(2)解
过P作PO⊥AD，
∵面PAD⊥面ABCD，
∴PO⊥面ABCD，
即PO为四棱锥P—ABCD的高．
又△PAD是边长为4的等边三角形，∴PO＝23．
2016届高考理科数学数列与不等式复习教案
2012届高考数学二轮复习
专题三 数列与不等式
【重点知识回顾】
1． 数列在高考中，一般设计一个客观题和一个解答题，主要考查数列和不等式部分的基本知识，对基本运算能力要求较高，解答题常常综合考查函数、方程、不等式等知识．难度较大，尤其是数列、函数和不等式的综合考题，又加入了逻辑推理能力的考查，成为了近几年数列考题的新热点．
2． 数列与不等式部分的重点为：等差、等比数列的概念、性质、通项公式、前 项和；不等式的性质、解法和两个重要不等式的应用；该部分重点考查运算能力和逻辑推理能力，考查函数与方程思想、化归于转化思想及分类讨论思想．
【典型例题】
1．等差数列与等比数列的综合
等差数列与等比数列都是高考命题的重点知识，考题经常将它们综合在一起综合考查等差数列和等比数列的概念、性质、通项公式、求和公式等基础知识和基本性质的灵活应用，对基本的运算要求比较高．
例1．设 是公差不为0的等差数列， 且 成等比数列，则 的前 项和 =（ ）
A． B． C． D．
答案：A
解析：设数列 的公差为 ，则根据题意得 ，解得 或 （舍去），所以数列 的前 项和 ．
例2．等比数列 的前n项和为 ，且4 ，2 ， 成等差数列．若 =1，则 =（ ）
（A）7 （B）8 （3）15 （4）16
解析： 4 ，2 ， 成等差数列， ，即 ，
， ，因此选C．
点评：该类题目综合考查了等差数列和等比数列的概念、通项公式和等比数列的求和公式等，基础性较强，综合程度较小，要求具有较熟练的运算能力．
2．函数与不等式综合
不等式与函数有着密切的联系，其中线性规划求目标函数的最值是近几年高考的热点问题之一，经常以选择题或填空题出现．有不少关于最值方面的问题，通常用二次函数的配方法求最值或用均值不等式求最值，考题经常以与不等式有关的实际应用问题出现．在应用不等式解决实际问题时，要注意以下四点：
①理解题意，设变量．设变量时一般把要求最值的变量定为自变量；
②建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最值问题；
③在定义域内，求出函数的最值；
④正确写出答案．
例３．设x，y满足约束条件 ，若目标函数z=ax+by（a>0，b>0）的值是最大值为12，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D． 4
答案：A
解析：不等式表示的平面区域如图所示阴影部分,当直线ax+by= z（a>0，b>0）过直线x-y+2=0与直线3x-y-6=0的交点（4,6）时，目标函数z=ax+by（a>0，b>0）取得最大12，即4a+6b=12，即2a+3b=6, 而 = ，故选A．
点评：本题综合地考查了线性规划问题和由基本不等式求函数的最值问题．要求能准确地画出不等式表示的平面区域，并且能够求得目标函数的最值，对于形如已知2a+3b=6，求 的
最小值常用乘积进而用基本不等式解答．
例4．本公司计划2008年在甲、乙两个电视台做总时间不超过300分钟的广告，广告总费用不超过9万元，甲、乙电视台的广告收费标准分别为 元/分钟和200元/分钟，规定甲、乙两个电视台为该公司所做的每分钟广告，能给公司事来的收益分别为0．3万元和0．2万元．问该公司如何分配在甲、乙两个电视台的广告时间，才能使公司的收益最大，最大收益是 万元．
答案：70
解析：设公司在甲电视台和乙电视台做广告的时间分别为 分钟和 分钟，总收益为 元，由题意得
目标函数为 ．
二元一次不等式组等价于
作出二元一次不等式组所表示的平面区域，即可行域．
如图：作直线 ，即 ．
平移直线，从图中可知，当直线过 点时，目标函数取得最大值．
联立 解得 ． 点 的坐标为 ．
（元）．
点评：本题是线性规划的实际应用问题，需要通过审题理解题意，找出各量之间的关系，找出线性约束条件，写出所研究的目标函数，通过数形结合解答问题．用线性规划的方法解决实际问题能提高学生分析问题、解决问题的能力，随着课改的深入，这类试题应该是高考的热点题型之一．
例5．设 为实数，函数 ．
(1)若 ，求 的取值范围；
(2)求 的最小值；
(3)设函数 ，直接写出(不需给出演算步骤)不等式 的解集．
解析：（1）若 ，则 ；
（2）当 时， ，
当 时， ，
综上 ；
（3） 时， 得 ，
当 时， ；
当 时，△>0，得： ；
讨论得：当 时，解集为 ；
当 时，解集为 ；
当 时，解集为 ．
点评：本小题主要考查函数的概念、性质、图象及解一元二次不等式等基础知识，考查灵活运用数形结合、分类讨论的思想方法进行探索、分析与解决问题的综合能力．
3．函数与数列的综合
高考试题中经常将函数与数列综合在一起，设计综合性较强的解答题，考查数列的概念、性质、通项及求和公式等主干知识和分析问题、解决问题的逻辑推理能力．
例6．知函数 ．
（Ⅰ）设 是正数组成的数列，前n项和为 ，其中 ．若点 (n∈N*)在函数 的图象上，求证：点 也在 的图象上；
（Ⅱ）求函数 在区间 内的极值．
解析：(Ⅰ)证明： 因为 所以 ，
由点 在函数 的图象上,
， 又 ，
所以 ， 是 的等差数列，
所以 ,又因为 ,所以 ,
故点 也在函数 的图象上．
(Ⅱ)解: ,令 得 ．
当x变化时, ? 的变化情况如下表:
x(-∞,-2)-2(-2,0)
f(x)+0-
f(x)?极大值 ?
注意到 ,从而
①当 ,此时 无极小值；
②当 的极小值为 ,此时 无极大值；
③当 既无极大值又无极小值．
点评：本小题主要考查函数极值、等差数列等基本知识，考查分类与整合、转化与化归等数学思想方法，考查分析问题和解决问题的能力．
4．数列与不等式、简易逻辑等的综合
数列是培养推理论证能力的极好载体，将数列的知识与推理证明的方法交织在一起进行考查，是新课程高考中的一个亮点，常常荣归纳、猜想、数学归纳法、分类讨论、等价转化等数学思想和方法于一体，对能力的要求较高．
例7．设 若 是 与 的等比中项，则 的最小值为（ ）
A．8 B．4 C．1 D．
答案：B
解析：因为 ，所以 ，
，当且仅当 即 时“=”成立，故选择B．
点评：本小题考查指数式和对数式的互化，以及均值不等式求最值的运用，考查了变通能力．
例8．设数列 满足 为实数．
（Ⅰ）证明： 对任意 成立的充分必要条件是 ；
（Ⅱ）设 ，证明： ；
（Ⅲ）设 ，证明： ．
解析： (1) 必要性： ，又 ，即 ．
充分性 ：设 ，对 用数学归纳法证明 ，
当 时， ．假设 ，
则 ，且 ，
，由数学归纳法知 对所有 成立．
(2) 设 ，当 时， ，结论成立．
当 时， ，
,由（1）知 ，所以 且 ，
(3) 设 ，当 时， ，结论成立，
当 时，由（2）知 ，
点评：该题综合考查了等比数列的求和、不等式的性质的应用、充分必要条件和数学归纳法等，具有较高的难度，对逻辑推理能力的考查要求较高．
５．数列与概率的综合
数列与概率的综合考查，虽然不是经常但很有新意，这种命题也体现了在知识交汇处命题的指导思想．
例9．将一骰子连续抛掷三次，它落地时向上的点数依次成等差数列的概率为（ ）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
解析：一骰子连续抛掷三次得到的数列共有 个，其中为等差数列有三类：
（1）公差为0的有6个；（2）公差为1或-1的有8个；（3）公差为2或-2的有4个，共有18个，成等差数列的概率为 ，选B．
点评：本题是以数列和概率的背景出现，题型新颖而别开生面，有采取分类讨论，分类时要做到不遗漏，不重复．
【模拟演练】
1．公差不为零的等差数列 的前 项和为 ．若 是 的等比中项, ,则 等于( )
A． 18 B． 24 C． 60 D． 90
2． 等差数列{an}和{bn}的前n项和分别用Sn和Tn表示，若 ，则 的值为( )
A B C D
3．已知函数 ，则不等式 的解集是（ ）
A． B．
C． D．
4． 已知x＞0，y＞0，x，a，b，y成等差数列，x，c，d，y成等比数列，则(a＋b)2cd的最小值是________．
5．设数列 的前 项和为 ，点 均在函数 的图象上．
则数列 的通项公式为 ．
6．命题 实数 满足 ，其中 ，命题 实数 满足 或 ，且 是 的必要不充分条件，求 的取值范围．
7．已知二次函数 的二次项系数为 a ，且不等式 的解集为（1 , 3）．
（l）若方程 有两个相等的根，求 的解析式；
（2）若 的最大值为正数，求 a 的取值范围．
8．围建一个面积为360m2的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙（利用旧墙需维修），其它三面围墙要新建，在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为2m的进出口，如图所示，已知旧墙的维修费用为45元/m,新墙的造价为180元/m,设利用的旧墙的长度为x(单位：元)．
（Ⅰ）将y表示为x的函数：
（Ⅱ）试确定x,使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用．
【参考答案】
1．答案：C
解析：由 得 得 ,再由 得: 则 ,所以 ,故选C．
2．答案：A
解析： ∵ ； ．
3． 答案：C
解析：依题意得 或
所以 或
解得： ，故选C．
4．答案：4
解析：∵(a＋b)2cd＝(x＋y)2xy≥(2xy)2xy＝4．
5．答案：
解析：由题意得， 即 ．
当n≥2时， ;
当n=1时， × -2×1-1-6×1-5．
所以 ．
6．解析：设 ，
因为 是 的必要不充分条件，所以 ，且 推不出
而 ，
所以 ，则 或
即 或 ．
7．解析：（1）因为 的解集为（1，3），所以 且 ．
因而 （1）
由方程 得： （2）
因为方程（2）有两个相等的根．
所以 ，即 ．
解得： （舍去）或 ，
将 代入（1）得 的解析式为： ，
（2） ，
有a < 0，可得 的最大值为 ，
所以 > 0，且a < 0．
解得： ，
故当 的最大值为正数时，实数a的取值范围是 ．
8．解析：（1）如图，设矩形的另一边长为a m，则 -45x-180(x-2)+180?2a=225x+360a-360，
由已知xa=360,得a= ，所以y=225x+ ．
(II)
．当且仅当225x= 时，等号成立．
即当x=24m时，修建围墙的总费用最小，最小总费用是10440元．
2016届高考数学第一轮导学案复习：二次函数
高三数学理科复习6——二次函数
【高考要求】二次函数（B）
【目标】理解二次函数的概念，熟练掌握二次函数的图像和性质.能结合二次函数的图像，判断一元二次方程根的存在性及根的个数，从而了解函数的零点与方程根的联系.
【重难点】二次函数的性质和应用 ，二次函数根的分布和恒成立等问题
【知识复习与自学质疑】
1.若二次函数 的图象的对称轴为 ，那么 = ，顶点坐标为 ，递增区间为 ，递减区间为
2.实系数方程 两实根异号的充要条件为
有两正根的充要条件为 有两个负根的充要条件为
3、已知函数 在区间 上有最大值3，最小值2，则 的取值范围为
4、设 若 ，则一元二次方程 在区间 内有 个解
【交流展示与互动探究】
例1、已知函数 在区间 上的最小值为 ，试写出 的函数表达式，作出 的图像并写出 的最小值
例2、（1）已知 是方程 的两个根，且 ，求 的取值范围；
（2）若 的两根都小于 ，求 的取值范围
例3、已知函数 的一个零点比1大，一个零点比1小，求实数 的取值范围
【矫正反馈】
1、已知关于 的方程 有两个实根，则 的范围
2、函数 的两个零点分别为 ，且 ，则 范围
3、已知函数 ，且 ，则 的大小关系为
4、已知函数 在区间 上是增函数，则 的取值范围是
5、 取何实数时，关于 的方程 有实数解
6、若函数 的定义域为 ，则 的取值范围
【迁移应用】
7、分别根据下列条件，求实数 的值
（1）函数 在区间 上有最大值2
（2）函数 在 上有最大值4
8、已知函数 在区间 上有最小值，记作
（1）求 的函数表达式；（2）求 的最大值
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