高考数学答题的三种题型

时间:2022-12-09 18:16:16 高考数学 我要投稿
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高考数学答题的三种题型

  高考数学答题技巧精选:常见的三种题型,供考生参考。

高考数学答题的三种题型

  “答题模板”就是首先把高考试题纳入某一类型,把数学解题的思维过程划分为一个个小题,按照一定的解题程序和答题格式分步解答,即化整为零.强调解题程序化,答题格式化,在最短的时间内拟定解决问题的最佳方案,实现答题效率的最优化.

  模板1 三角变换与三角函数的性质问题

  已知函数f(x)=2cos x·sin-sin2x+sin xcos x+1.

  (1)求函数f(x)的最小正周期;(2)求函数f(x)的最大值及最小值;(3)写出函数f(x)的单调递增区间.

  审题路线图 不同角化同角→降幂扩角→化f(x)=Asin(ωx+φ)+h→结合性质求解.

  规 范 解 答 示 例 构 建 答 题 模 板 解 f(x)=2cos x-sin2x+sin xcos x+1

  =2sin xcos x+(cos2x-sin2x)+1=sin 2x+cos 2x+1

  =2sin+1.

  (1)函数f(x)的最小正周期为=π.

  (2)∵-1≤sin≤1,∴-1≤2sin+1≤3.

  ∴当2x+=+2kπ,k∈Z,即x=+kπ,k∈Z时,f(x)取得最大值3;

  当2x+=-+2kπ,k∈Z,即x=-+kπ,k∈Z时,f(x)取得最小值-1.

  (3)由-+2kπ≤2x+≤+2kπ,k∈Z,得-+kπ≤x≤+kπ,k∈Z.

  ∴函数f(x)的单调递增区间为 (k∈Z). 第一步 化简:三角函数式的化简,一般化成y=Asin(ωx+φ)+h的形式,即化为“一角、一次、一函数”的形式.

  第二步 整体代换:将ωx+φ看作一个整体,利用y=sin x,y=cos x的性质确定条件.

  第三步 求解:利用ωx+φ的范围求条件解得函数y=Asin(ωx+φ)+h的性质,写出结果.

  第四步 反思:反思回顾,查看关键点,易错点,对结果进行估算,检查规范性. (2014·福建)已知函数f(x)=cos x(sin x+cos x)-.

  (1)若0<α<,且sin α=,求f(α)的值;

  (2)求函数f(x)的最小正周期及单调递增区间.

  解 方法一 (1)因为0<α<,sin α=,

  所以cos α=.

  所以f(α)=×(+)-=.

  (2)因为f(x)=sin xcos x+cos2x-

  =sin 2x+-

  =sin 2x+cos 2x

  =sin(2x+),

  所以T==π.

  由2kπ-≤2x+≤2kπ+,k∈Z,得

  kπ-≤x≤kπ+,k∈Z.

  所以f(x)的单调递增区间为[kπ-,kπ+],k∈Z.

  方法二 f(x)=sin xcos x+cos2x-

  =sin 2x+-

  =sin 2x+cos 2x

  =sin(2x+).

  (1)因为0<α<,sin α=,所以α=,

  从而f(α)=sin(2α+)=sin=.

  (2)T==π.

  由2kπ-≤2x+≤2kπ+,k∈Z,得

  kπ-≤x≤kπ+,k∈Z.

  所以f(x)的单调递增区间为[kπ-,kπ+],k∈Z.

  模板2 解三角形问题

  在△ABC中,若acos2+ccos2=b.

  (1)求证:a,b,c成等差数列;

  (2)求角B的取值范围.

  审题路线图 (1)―→―→

  (2)―→―→

  规 范 解 答 示 例 构 建 答 题 模 板 (1)证明 因为acos2+ccos2=a·+c·=b,

  所以a+c+(acos C+ccos A)=3b,

  故a+c+=3b,

  整理,得a+c=2b,故a,b,c成等差数列.

  (2)解 cos B==

  =≥=,

  因为0c,已知·=2,cos B=,b=3.求:

  (1)a和c的值;

  (2)cos(B-C)的值.

  解 (1)由·=2得c·acos B=2.

  又cos B=,所以ac=6.

  由余弦定理,得a2+c2=b2+2accos B.

  又b=3,所以a2+c2=9+2×6×=13.

  解得或

  因为a>c,所以a=3,c=2.

  (2)在△ABC中,

  sin B== =,

  由正弦定理,

  得sin C=sin B=×=.

  因为a=b>c,

  所以C为锐角,

  因此cos C== =.

  于是cos(B-C)=cos Bcos C+sin Bsin C

  =×+×=.

  模板3 数列的通项、求和问题

  (2014·江西)已知首项都是1的两个数列{an},{bn}(bn≠0,n∈N*)满足anbn+1-an+1bn+2bn+1bn=0.

  (1)令cn=,求数列{an}的通项公式;

  (2)若bn=3n-1,求数列{an}的前n项和Sn.

  审题路线图 (1)→→→

  (2)→

  规 范 解 答 示 例 构 建 答 题 模 板 解 (1)因为anbn+1-an+1bn+2bn+1bn=0(bn≠0,n∈N*),

  所以-=2,即cn+1-cn=2,

  所以数列{cn}是以首项c1=1,公差d=2的等差数列,故cn=2n-1.

  (2)由bn=3n-1知an=cnbn=(2n-1)3n-1,

  于是数列{an}的前n项和Sn=1·30+3·31+5·32+…+(2n-1)·3n-1,

  3Sn=1·31+3·32+…+(2n-3)·3n-1+(2n-1)·3n,

  相减得-2Sn=1+2·(31+32+…+3n-1)-(2n-1)·3n=-2-(2n-2)3n,

  所以Sn=(n-1)3n+1. 第一步 找递推:根据已知条件确定数列相邻两项之间的关系,即找数列的递推公式.

  第二步 求通项:根据数列递推公式转化为等差或等比数列求通项公式,或利用累加法或累乘法求通项公式.

  第三步 定方法:根据数列表达式的结构特征确定求和方法(如公式法、裂项相消法、错位相减法、分组法等).

  第四步 写步骤:规范写出求和步骤.

  第五步 再反思:反思回顾,查看关键点、易错点及解题规范. 已知点是函数f(x)=ax (a>0,且a≠1)的图象上的一点.等比数列{an}的前n项和为f(n)-c.数列{bn} (bn>0)的首项为c,且前n项和Sn满足Sn-Sn-1=+ (n≥2).

  (1)求数列{an}和{bn}的通项公式;

  (2)若数列的前n项和为Tn,问满足Tn>的最小正整数n是多少?

  解 (1)∵f(1)=a=,∴f(x)=x.

  由题意知,a1=f(1)-c=-c,

  a2=[f(2)-c]-[f(1)-c]=-,

  a3=[f(3)-c]-[f(2)-c]=-.

  又数列{an}是等比数列,

  ∴a1===-=-c,

  ∴c=1.又公比q==,

  ∴an=-·n-1=-2·n (n∈N*).

  ∵Sn-Sn-1=(-)(+)

  =+ (n≥2).

  又bn>0,>0,∴-=1.

  ∴数列{}构成一个首项为1、公差为1的等差数列,

  =1+(n-1)×1=n,即Sn=n2.

  当n≥2时,bn=Sn-Sn-1=n2-(n-1)2=2n-1,

  当n=1时,b1=1也适合此通项公式.

  ∴bn=2n-1 (n∈N*).

  (2)Tn=+++…+

  =+++…+

  =×+×+×+…+×=×=.

  由Tn=>,得n>,

  ∴满足Tn>的最小正整数n的值为101.

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