高考数学复习不等式的概念与性质学案及答案

时间:2021-11-12 18:03:15 高考数学 我要投稿
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高考数学复习不等式的概念与性质学案及答案

  一、选择题(每小题5分,共25分)

高考数学复习不等式的概念与性质学案及答案

  10.(12分)比较aabb与abba(a,b为不相等的正数)的大小.

  11.(14分)已知a>0,a2-2ab+c2=0,bc>a2.试比较a,b,c的大小.

  学案33 不等式的概念与性质

  自主梳理

  1.常量 常量 函数 2.不等号 3.(2)ab>1 4.(1)bc (3)a+c>b+c a+c>b+d (4)ac>bc ac>bd (5)an>bn (n∈N且n≥2) (6)na>nb (n∈N且n≥2)

  (7)1a<1b

  自我检测

  1.A 2.D 3.D 4.D

  5.①③⑤

  课堂活动区

  例1  解题导引 比较大小有两种基本方法:

  (1)作差法步骤:作差——变形——判断差的符号.作商法的步骤:作商——变形——判断商与1的大小.(2)两种方法的关键是变形.常用的变形技巧有因式分解、配方、有理化等,也可以等价转化为易于比较大小的两个代数式来达到目的.

  解 (1)方法一 (x2+2)(x-)-(x2-2)(x+)=(x-)[x2+2-(x+)2]=-2x(x-),

  ∵x<<0,∴x>0,x-<0.

  ∴-2x(x-)>0.

  ∴(x2+2)(x-)>(x2-2)(x+).

  方法二 ∵x<<0,

  ∴x-<0,x2>2,x+<0.

  ∴(x2+2)(x-)<0,(x2-2)(x+)<0.

  ∴0<x2+2x-x2-2x+=x2+2x2+2+2x<1.

  ∴(x2+2)(x-)>(x2-2)(x+).

  (2)∵a,b,c∈{正实数},∴an,bn,cn>0.

  而an+bncn=acn+bcn.

  ∵a2+b2=c2,则ac2+bc2=1,

  ∴0<ac<1,0<bc<1.

  ∵n∈N,n>2,

  ∴acn<ac2,bcn<bc2.

  ∴an+bncn=acn+bcn<a2+b2c2=1.

  ∴an+bn<cn.

  变式迁移1 解 方法一 (作差法)

  ab-(a+b)=(a-1)(b-1)-1,

  ∵a>2,b>2,∴a-1>1,b-1>1.

  ∴(a-1)(b-1)-1>0.

  ∴ab-(a+b)>0.

  ∴ab>a+b.

  方法二 (作商法)∵a+bab=1b+1a,

  且a>2,b>2,∴1a<12,1b<12.

  ∴1b+1a<12+12=1.

  ∴a+bab<1.又∵ab>4>0,∴a+b<ab.

  例2  D [由a>bac>bc,c>dbc>bd都是对不等式两边同乘一实数,只有当该实数为正数时,不等号才不改变方向,故这两步都错误;由于不等式具有传递性,所以得出ac>bd是正确的,由ac>bdad>bc是对不等式ac>bd两边同除cd,由于不知cd的正、负,故这一步也是错误的.]

  变式迁移2 B [∵a<b<0,∴ab>0.

  取倒数,则有1a>1b,选项A正确.

  ∵a<b<0,∴|a|>|b|和a2>b2两个不等式均成立,选项C、D正确.

  对于B,1a-b-1a=baa-b,

  又∵a<b<0,∴a-b<0.∴baa-b<0,

  即1a-b<1a.∴选项B不成立.]

  例3  解题导引 第(2)题中,由于f(x)=ax2+bx,所以f(-2)、f(-1)和f(1)都是关于a,b的代数式,由于已知f(-1)、f(1)的范围,因此利用待定系数法表示出f(-2),通过等式两边a、b系数相等求出待定系数,然后通过f(-1)、f(1)的范围求出f(-2)的范围.本题也可用线性规划求解,即已知条件可化为1≤a-b≤2,2≤a+b≤4,求的是z=4a-2b的范围.

  解 (1)∵15<b<36,∴-36<-b<-15.

  ∴12-36<a-b<60-15,即-24<a-b<45.

  又136<1b<115,∴1236<ab<6015.

  ∴13<ab<4.

  (2)方法一 由f-1=a-bf1=a+b,

  得a=12[f-1+f1],b=12[f1-f-1].

  ∴f(-2)=4a-2b=3f(-1)+f(1).

  又∵1≤f(-1)≤2,2≤f(1)≤4,

  ∴5≤3f(-1)+f(1)≤10,

  故5≤f(-2)≤10.

  方法二 设f(-2)=f(-1)+nf(1),

  则4a-2b=(a-b)+n(a+b),

  即4a-2b=(+n)a+(n-)b,

  ∴+n=4,n-=-2,解得=3,n=1.

  ∴f(-2)=3f(-1)+f(1),

  ∵1≤f(-1)≤2,2≤f(1)≤4,

  ∴5≤f(-2)≤10,

  ∴f(-2)的取值范围是[5,10].

  变式迁移3 (1)[-3π2,π] (2)(3,8)

  解析 (1)由-π2≤α≤π2

  -π≤2α≤π,

  由0≤β≤π-π2≤-β2≤0,

  两不等式相加得:-3π2≤2α-β2≤π.

  所以2α-β2的范围为-3π2,π.

  (2)设2x-3=λ(x+)+μ(x-)=(λ+μ)x+(λ-μ),对应系数相等,

  则λ+μ=2λ-μ=-3λ=-12,μ=52,

  从而2x-3=-12(x+)+52(x-)∈(3,8).

  课后练习区

  1.A [由c<b<a,且ac<0,知a>0,c<0,但b的符号不确定,b可能为0,故C错误.

  由b>cab>ac,b可能为0,故A正确.

  b<ab-a<0又c<0c(b-a)>0,故B错误.

  a>ca-c>0又ac<0ac(a-c)<0,故D错误.]

  2.C [∵a>b>0,∴ab>0,∴1b>1a.

  ∴a+1b>b+1a.故选C.]

  3.D [只有指数函数=2x在R上为增函数,所以D正确.而A、C显然不是对于一切实数都成立的,B的等价条件是|a|>|b|,显然也错误.]

  4.D [∵a<b<0,∴a-b<0.1a-b-1b=2b-aa-bb,2b-a的正负不确定,即1a-b>1b有可能成立;又∵a<b<0,

  ∴|a|>|b|>0,则有1|a|<1|b|,即1|a|>1|b|不成立.]

  5.D [①由ab>0,bc-ad>0,即bc>ad,

  得ca>db,即ca-db>0;

  ②由ab>0,ca-db>0,即ca>db,

  得bc>ad,即bc-ad>0;

  ③由bc-ad>0,ca-db>0,

  即bc-adab>0,得ab>0;

  故可组成3个正确的命题.]

  6.3

  解析 ∵x>>1,0<a<1,∴ax<a,lgax<lga,

  故①成立,②不成立.

  ∵xa>a>0,∴x-a<-a,③不成立.

  又lgax<lga<0,∴1lgax>1lga.

  即lgxa>lga,∴④也不成立.

  7.①②

  解析 ∵ad<0,bc>0,∴ad<bc,故①正确;

  又∵c<d<0,∴c2>d2>0.

  由已知a>b,同向不等式相加得a+c2>b+d2,故②正确;

  对于结论③,d-c>0,b-c的正、负不确定,故③不正确.

  8.-π2,π2 -π2,0

  解析 ∵-π2≤α<π2,-π2<β≤π2,

  ∴-π<α+β<π,∴-π2<α+β2<π2.

  ∵-π2≤-β<π2,

  ∴-π≤α-β<π,∴-π2≤α-β2<π2.

  又∵α-β<0,∴-π2≤α-β2<0.

  9.解 ab2+ba2-1a+1b=a-bb2+b-aa2

  =(a-b)1b2-1a2=a+ba-b2a2b2.(6分)

  ∵a+b>0,(a-b)2≥0,∴a+ba-b2a2b2≥0.

  ∴ab2+ba2≥1a+1b.(12分)

  10.解 aabbabba=aa-bbb-a=aba-b,(4分)

  当a>b>0时,ab>1,a-b>0,

  ∴aba-b>1;(8分)

  当0<a<b时,ab<1,a-b<0,

  ∴aba-b>1.(11分)

  综上所述,当a,b为不相等的正数时,总有aabb>abba.

  (12分)

  11.解 ∵bc>a2>0,∴b,c同号.(2分)

  又a2+c2>0,a>0,∴b=a2+c22a>0.

  ∴c>0.(4分)

  由(a-c)2=2ab-2ac=2a(b-c)≥0,

  ∴b-c≥0.(6分)

  当b-c>0,即b>c时,

  由b=a2+c22abc>a2a2+c22ac>a2(a-c)(2a2+ac+c2)<0.

  ∵a>0,b>0,c>0,∴2a2+ac+c2>0.

  ∴a-c<0,即a<c,则a<c<b.(10分)

  当b-c=0,即b=c时,

  ∵bc>a2,∴b2>a2,即b≠a.

  又∵a2-2ab+c2=(a-b)2=0a=b与a≠b矛盾,

  ∴b-c≠0.综上,可知a<c<b.(14分)

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