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工程数学试题及答案
工程数学是为了让工科学生用更加方便的理论工具来处理工程常见问题。以下是由阳光网小编整理关于工程数学试题的内容，希望大家喜欢!
工程数学试题
一、单项选择题 (每小题3分，共15分)
1.某人打靶3发，事件Ai 表示“击中i发”，i=0,1,2,3. 那么事件 A=A1∪A2∪A3表示( )。
A. 全部击中. B. 至少有一发击中. C. 必然击中 D. 击中3发 2.对于任意两个随机变量X和Y，若E(XY)=E(X)E(Y)，则有( )。 A. X和Y独立。 B. X和Y不独立。 C. D(X+Y)=D(X)+D(Y) D. D(XY)=D(X)D(Y)
3.下列各函数中可以作为某个随机变量的概率密度函数的是( )。
0.5|x|22(1|x|)|x|1 A. f(x)。 B. f(x)
0其它0其它
(x)12
e2
C. f(x)2
0
2
x0
exx0
D. f(x)，
0其它x0
4.设随机变量X～N(,42), Y～N(,52), P1P{X4}, P2P{Y5}, 则有( )
A. 对于任意的, P1=P2 B. 对于任意的, P1 < P2 C. 只对个别的，才有P1=P2 D. 对于任意的, P1 > P2 5.设X为随机变量，其方差存在，c为任意非零常数，则下列等式中正 确的是( )
A.D(X+c)=D(X). B. D(X+c)=D(X)+c. C. D(X-c)=D(X)-c D. D(cX)=cD(X)
二、填空题 (每空3分，共15分)
1. 设3阶矩阵A的特征值为-1，1，2，它的伴随矩阵记为A*， 则|A*+3A –2E|= 。
011200
2.设A= 101~0x0，则x。
110001
3.设有3个元件并联，已知每个元件正常工作的`概率为P，则该系统正 常工作的概率为 。
2x0xA
4.设随机变量X的概率密度函数为f(x)，则概率
0其它
1
P(X)。
2
5.设二维连续型随机变量(X,Y)的联合概率密度函数为
ke(3x4y)当x0,y0
f(x,y)，则系数k 。
其它0
三、计算题 (每小题10分，共50分)
1.求函数f(t)et的傅氏变换 (这里0)，并由此证明：
costt
e2220
2.发报台分别以概率0.6和0.4发出信号“1”和“0”。由于通讯系统受到干扰，当发出信号“1”时，收报台未必收到信号“1”，而是分别以概率0.8和0.2收到信号“1”和“0”;同时，当发出信号“0”时，收报台分别以概率0.9和0.1收到信号“0”和“1”。求 (1)收报台收到信号“1”的概率;
(2)当收报台收到信号“1”时，发报台确是发出信号“1”的概率。
ce(2x4y)x0,y0
3.设二维随机变量(X,Y)的联合概率函数是f(x,y)
其它0
求：(1)常数c;(2)概率P(X≥Y );(3)X与Y相互独立吗请说出理由。
4.将n个球随机的放入N个盒子中去，设每个球放入各个盒子是等可能的，求有球盒子数X的数学期望。
5.设一口袋中依此标有1，2，2，2，3，3数字的六个球。从中任取一球，记随机变量X为取得的球上标有的数字，求 (1)X的概率分布律和分布函数。(2)EX
四、证明题 (10分)
设a=(a1,a2,,an)T，a1≠0,其长度为║a║，又A=aaT, (1)证明A2=║a║2A;
(2)证明a是A的一个特征向量，而0是A的n-1重特征值; (3)A能相似于对角阵Λ吗若能,写出对角阵Λ.
五、应用题 (10分)
设在国际市场上每年对我国某种出口商品的需求量X是随机变量,它在[2000,4000]( 单位：吨 )上服从均匀分布，又设每售出这种商品一吨，可为国家挣得外汇3万元，但假如销售不出而囤积在仓库，则每吨需保养费1万元。问需要组织多少货源，才能使国家收益最大。
工程数学试题答案
一、单项选择题 (每小题3分，共15分)
1.B 2.C 3.D 4.A 5.A
二、填空题 (每空3分，共15分)
1. 9 2. 1 3 1–(1–P)3 4. 3/4 5. 12
三、计算题 (每小题10分，共50分) 1.解答：函数f(t)的付氏变换为：
|t|jt
(j)t
F(w)=[e|t|]eedtedte(j)tdt=11222 jj
由付氏积分公式有
1f(t)=[F(w)]=21jtF()ed1=22(costjsint)d 2222costd221==2cost220
所以
costte2220
2.解答: 设 A1=“发出信号1”，A0=“发出信号0”，A=“收到信号1”
(1)由全概率公式 有 P(A)=P(A|A1)P(A1)+P(A|A0)P(A0) =0.8x0.6+0.1 x0.4=0.52 (2)由贝叶斯公式 有 P(A1|A)=P(A|A1)P(A1)/ P(A) =0.8x0.6/0.52=12/13 3.解答:(1)由联合概率密度的性质有
dxf(x,y)dy1
即 dxce(2x4y)dy1
从而 c=8
x
(2)P(XY)
xy
f(x,y)dxdy
(2x4y)
dydx8e0
2
3
(3) 当x>0时， fX(x)
f(x,y)dy8e(2x4y)dy2e2x
当x<=0时, fX(x)0
4e4yy0
同理有 fY(y)
其它0因 f(x,y)fX(x)fY(y)
x,y
故X与Y相互独立
1
4.解答：设 Xi
0
N
第i个盒子有球
i =1,2,,N
否则
则 XXi
i1
(N1)n
因 P(Xi0) n
N
(N1)n
P(Xi1)1P(Xi0)1 n
N
(N1)n
因而 EXi0P(Xi0)1P(Xi1)1
Nn
所以 EXEXiN(1(1
i1
N
1n
)) N
5.解答：
(1)随机变量X的取值为1，2，3。 132依题意有：P{X1};P{X2};P(X3) 666
X的分布函数F(x)P{Xx}
由条件知：当x1时，F(x)0;
1P(X1); 当1x2时，F(x)6
2P(X1)P(X2); 当2x3时，F(x)3
1; 当x3时，F(x)
(2)EX=1 x 1/6+2 x 3/6+3 x 2/6= 13/6
四、证明题 (10分)
(1) A2=aaT·aaT=aTa ·aaT =║a║2A
(2)因 Aa= aaT ·a=aTa·a= ║a║2a
故a是A的一个特征向量。
又A对称，故A必相似于对角阵
设A∽ diag(λ1,λ2,,λn)=B, 其中λ1,λ2,,λn是A的特征值
因rank(A)=1, 所以 rank(B)=1
从而λ1,λ2,,λn中必有n-1个为0, 即0是A的`n-1重特征值
(3) A对称，故A必相似于对角阵Λ，
五、应用题 (10分)
解答:设y为预备出口的该商品的数量，这个数量可只介于2000与4000
之间，用Z表示国家的收益(万元),
3yXy则有 Zg(X) 3X(yX)Xy
因 X服从R(2000,4000), 故有
1/20002000x4000 fX(x)其它0
所以
3x(yx)EZg(x)fX(x)dxdx20002000y4000y3y 2000
=–( y2 –7000y + 4106 ) /1000 求极值得 y=3500 (吨)
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