函数模型及其应用高考数学第一轮复习

时间:2018-05-07 16:04:06 高考数学 我要投稿

函数模型及其应用高考数学第一轮复习

  【学习目标】:

函数模型及其应用高考数学第一轮复习

  能根据实际问题的情况建立合理的函数模型,会根据实际问题中提供的数据在建立函数模型后用导数方法给出解答.

  【例题精讲】

  1.某城市在发展过程中,交通状况逐渐受到有关部门更多的关注,据有关统计数据显示,从上午 点到中午 点,车辆通过该市某一路段的用时 (分钟)与车辆进入该路段的时刻 之间关系可近似地用如下函数给出:

  求从上午6点到中午12点,通过该路段用时最多的时刻.

  2.某集团为了获得最大的收益,每年要投入一定的资金用于广告促销。经调查,每年投入广告费 (百万元)。可增加销售额约为 (百万元)( ).

  (1)若该公司将当年的广告费控制在300万元之内,则应投入多少广告费,才能使该公司由此获得的收益最大?

  (2)现该公司准备共投入300万元,分别用于广告促销和技术改造.经预测,每投入技术改造费 (百万元),可增加的销售额约为 (百万元).请设计一个资金分配方案, 使该公司由此获得的收益最大.(注:收益=销售额 投放).

  3.从边长为 的正方形铁片的四角上各截去一小块边长为 的正方形,再将四边向上折起,做成一个无盖的长方体铁盒,要求长方体的高度 与底面正方形边长的比值不超过常数 ,则 取何值时,容积 有最大值.

  【矫正反馈】

  1.某天中午 时整,甲船自 以 的速度向正东方向行驶,乙船自 的正北 处以 的速度向正南方向行驶,则当天 时 分时两船之距离对时间的变化率是 .

  2.体积为 的圆柱,底面半经和高分别为_______,_________时,表面积最小.

  3.从边长为 的矩形纸板的四角,截去四个相同的小正方形,做成一个无盖的盒子,那么盒子容积的最大值为 。

  4.一区,要把如图所示的一片碎石滩规划成一个矩形度假村。已知矩形 的顶点 在近似于一段对数函数的图象的曲线段 上,且 , , , 问如何规划,可使度假村占地面积最大?

  5.甲方是一农场,乙方是一工厂,由于乙方生产需占用甲方的资,因此甲方有权向乙方索赔以弥补经济损失并获得一定的净收入,在乙方不赔付甲方的情况下,乙方的年利润 (元)与年产量 (吨)满足函数关系 ,若乙方每生产一吨产品必须赔付甲方 元(以下称 为赔付价格)。

  (1)将乙方的年利润 (元)表示为年产量 (吨)的函数,并求出乙方获得最大利润的年产量;

  (2)甲方每年受乙方生产影响的经济损失金额为 ,在乙方按照获得最大利润的产量进行生产的前提下,甲方要在索赔中获得最大净收入,应向乙方要求的赔付价格 是多少?

  高三数学解析几何综合问题


  一.高考要求

  解析几何历来是高考的重要内容之一,所占分值在30分以上,大题小题同时有,除了本身知识的综合,还会与其它知识如向量、函数、不等式等知识构成综合题,多年高考压轴题是解析几何题.

  二.两点解读

  重点:①运用方程(组)求圆锥曲线的基本量;②运用函数、不等式研究圆锥曲线有关量的范围;③运用“计算”的方法证明圆锥曲线的有关性质.

  难点:①对称性问题;②解析几何中的开放题、探索题、证明题;③数学思想的运用.

  三.课前训练

  1.若抛物线 的焦点与椭圆 的右焦点重合,则 的值( D )

  (A) (B) (C) (D)

  2.已知 的顶点B、C在椭圆 上,顶点A是椭圆的一个焦点,且椭圆的另外一个焦点在BC边上,则 的周长是 ( C )

  (A) (B)6 (C) (D)12

  3.椭圆 的内接矩形的面积最大值为

  4.两点 ,动点P在线段AB上运动,则xy的最大值为 3

  四.典型例题

  例1 和圆 关于直线 对称的圆的方程是( ) (A) (B)

  (C) (D)

  解:只要求圆心关于直线 的对称点的坐标为 ,半径不变,故选A

  例2 椭圆 的一个焦点是 ,那么

  解:椭圆化为 , 解得:

  例3 直线 与抛物线 交于 两点,过 两点向抛物线的准线作垂线,垂足分别为 ,则梯形 的面积为 ( )

  (A) (B) (C) (D)

  解:由 得 , ,

  , 中点

  ,选B

  例4 设直线 关于原点对称的直线为 ,若 与椭圆 的交点为A、B,点P为椭圆上的动点,则使 的面积为1的点P的个数为 ( )

  (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4

  解:直线 为 ,观察图形可知在直线右侧不可能存在点 ,在左侧有两个点,故选B

  例5 已知三点P(5,2)、 (-6,0)、 (6,0)

  (Ⅰ)求以 、 为焦点且过点P的椭圆的标准方程;

  (Ⅱ)设点P、 、 关于直线y=x的对称点分别为 、 、 ,求以 、 为焦点且过点 的双曲线的标准方程.

  解:(I)由题意,可设所求椭圆的标准方程为 + ,其半焦距

  ,故所求椭圆的标准方程为 + ;

  (II)点P(5,2)、 (-6,0)、 (6,0)关于直线y=x的对称点分别为:

  、 (0,-6)、 (0,6)

  设所求双曲线的标准方程为 - ,由题意知半焦距 ,

  ,故所求双曲线的标准方程为

  例6 如图,已知椭圆的中心在坐标原点,焦点 在x轴上,长轴A1A2的长为4,左准线 与x轴的交点为M,MA1∶A1F1=2∶1.

  (Ⅰ)求椭圆的方程;

  (Ⅱ)若点P在直线 上运动,求∠F1PF2的最大值.

  2016届高考数学知识梳理函数的定义域复习教案

  教案15 函数的定义域

  一、前检测

  1. (2008全国)函数 的定义域是____________. 答案:

  2.函数 的定义域为 ,则 的定义域为____________. 答案:

  3.函数 的定义域为( )

  二、知识梳理

  1.函数的定义域就是使函数式 的集合. 答案:有意义的自变量的取值

  解读:

  2.常见的三种题型确定定义域:

  ① 已知函数的解析式,就是 . 答案:解不等式(组)

  如:① ,则 ; ② ,则 ;

  ③ ,则 ; ④ ,则 ;

  ⑤ ,则 ; ⑥ 是整式时,定义域是全体实数。

  解读:

  ② 复合函数f [g(x)]的有关定义域,就要保证内函数g(x)的 域是外函数f (x)的 域.

  解读:

  ③实际应用问题的定义域,就是要使得 有意义的自变量的取值集合.

  解读:

  三、典型例题分析

  例1。求下列函数的定义域

  (1) ; 答案:

  (2) 答案:

  变式训练:求下列函数的定义域:?

  (1) 答案:

  (2)f(x)= 答案:

  小结与拓展:根据基本初等函数的定义域构建不等式(组)

  例2 (1)若 的定义域为[-1,1],求函数 的定义域

  解: 的定义域为[-2,0]

  (2)若 的定义域是[-1,1],求函数 的定义域

  解: , 的定义域为[0,2]

  变式训练1:已知函数 的定义域为 ,则函数 的定义域为

  答案:

  变式训练2:若函数f(x)的定义域是[0,1],则f(x+a)f(x-a)(0<a< )的定义域是( B )

  A. ? B.[a,1-a]? C.[-a,1+a]? D.[0,1]?

  小结与拓展:求函数的定义域要注意是求 的取值范围,对同一对应法则定义域是相同的。

  例3 如图,等腰梯形ABCD内接于一个半径为r的圆,且下底AD=2r,如图,记腰AB长为x,梯形周长为y,试用x表示y并求出函数的定义域

  解:连结BD,过B向AD作垂线BE,垂足为E

  ∵AD为直径,∴∠ABD=90°,又AD=2r,AB=x

  在△ABE中,

  小结与拓展:

  对于实际问题,在求出函数解析式后,必须求出其定义域,此时的定义域要根据实际意义确定。

  变式训练:等腰梯形ABCD的两底分别为 ,作直线 交 于 ,交折线ABCD于 ,记 ,试将梯形ABCD位于直线 左侧的面积 表示为 的函数,并写出函数的定义域。

  答案:

  四、归纳与总结(以学生为主,师生共同完成)

  1.知识:

  2.思想与方法:

  3.易错点:

  4.反思(不足并查漏):

  2016届高考数学第二轮备考复习:函数的单调性、最值、极值问题

  题型九 函数的单调性、最值、极值问题

  (推荐时间:30分钟)

  1.已知函数f(x)=ax3+bx2+cx在点x0处取得极小值5,其导函数的图象经过(1,0),(2,0),如图所示,求:

  (1)x0的值;

  (2)a,b,c的值;

  (3)f(x)的极大值.

  2.已知函数f(x)=xln x.

  (1)求f(x)的最小值;

  (2)讨论关于x的方程f(x)-m=0 (m∈R)的解的个数.

  答 案

  1.解 f′(x)=3ax2+2bx+c,

  (1)观察图象,我们可发现当x∈(-∞,1)时,f′(x)>0,此时f(x)为增函数;

  当x∈(1,2)时,f′(x)<0,此时f(x)为减函数;

  当x∈(2,+∞)时,f′(x)>0,此时f(x)为增函数,

  因此在x=2处函数取得极小值.

  结合已知,可得x0=2.

  (2)由(1)知f(2)=5,即8a+4b+2c=5.

  再结合f′(x)的图象可知,方程f′(x)=3ax2+2bx+c=0的两根分别为1,2,

  那么1+2=-2b3a,1×2=c3a 即2b=-9a,c=6a.

  联立8a+4b+2c=5,得a=52,b=-454,c=15.

  (3)由(1)知f(x)在x=1处函数取得极大值,

  ∴f(x)极大值=f(1)=a+b+c=52-454+15=254.

  2.解 (1)f(x)的定义域为(0,+∞),f′(x)=ln x+1,

  令f′(x)=0,得x=1e,

  当x∈(0,+∞)时,f′(x),f(x)的变化情况如下:

  x0,1e

  1e

  1e,+∞

  f′(x)-0+

  f(x) ?

  极小值?

  所以,f(x)在(0,+∞)上的最小值是f1e=-1e.

  (2)当x∈0,1e时,f(x)单调递减且f(x)的取值范围是-1e,0;

  当x∈1e,+∞时,f(x)单调递增且f(x)的取值范围是-1e,+∞,

  下面讨论f(x)-m=0的解,

  当m<-1e时,原方程无解;

  当m=-1e或m≥0,原方程有唯一解;

  当-1e<m<0时,原方程有两解.

  2016届高考数学第一轮备考不等式、推理与证明复习教案

  2012版高三数学一轮精品复习学案:

  第六章 不等式、推理与证明

  【知识特点】

  (1)不等式应用十分广泛,是高中数学的主要工具,试题类型多、方法多、概念要求较高,特别是不等式性质的条件与结论,基本不等式的条件等。

  (2)不等式的性质本身就是解题的手段和方法,要认真理解和体会不等式性质的条件与结论,并运用它去解题。

  (3)一元二次不等式的解法及求解程序框图一定要在理解的基础上掌握,因为求解的程序框图就是求解的一般方法与步骤。

  (4)二元一次不等式组与简单的线性规划是解决最优化问题的一个重要手段,但画图时一定要细心,然后求出目标函数的最值。

  (5)基本不等式的条件是解题的关键,一定要认真体会,会运用基本不等式来证明或求解问题。

  (6)推理与证明贯穿于每一个章节,是对以前所学知识的总结与归纳,概念较多,知识比较系统,逻辑性较强,在高中数学中有着特殊地位。

  【重点关注】

  不等式、推理与证明的学习应立足基础,重在理解,加强训练,学会建模,培养能力,提高素质,因此在学习中应重点注意以下几点:

  (1)学习不等式性质时,要弄清条件与结论,要克服“想当然”和“显然成立”的思维定势,要以比较准则和实数的运算法则为依据解决问题。

  (2)解某些不等式时,要与函数的定义域、值域、单调性联系起来,注重数形结合思想,解含参数不等式时要注重分类讨论的思想。

  (3)利用基本不等式求最值时,要满足三个条件:一正,二定,三相等。

  (4)要强化不等式的应用意识,同时要注意到不等式与函数和方程的对比与联系,充分利用函数方程思想、数形结合思想处理不等式问题。

  (5)利用线性规划解决实际问题,充分利用数形结合思想,会达到事半功倍的效果,因此力求画图标准。

  (6)深刻理解合情推理的含义,归纳解决这类问题的规律和方法,掌握分析法、综合法、反证法的证明过程和解题特点。

  (7)合情推理中主要包括类比推理与归纳推理两种推理模式,类比、归纳的数学思想是在进行问题探讨、研究时常见的思想方法。

  (8)数学归纳法是证明数列、等式、不等式的有效方法,证明问题时要注意充分利用归纳假设,同时注意项数的变化,在证明不等问题时,注意放缩、作差等方法的应用。

  【地位和作用】

  不等式通常会和函数,方程结合起来考查学生的综合能力,一般有一道小的选择或计算及填空出现在高考试题中,学好不等式的证明及计算是很重要的。涉及不等式的大题有时也会和求函数的最值结合大概可以占到20-30分。

  推理与证明主要包括:合情推理和演绎推理、直接证明与间接证明、数学归纳法(理科)等内容,其中推理中的合情推理、演绎推理几乎涉及数学的方方面面的知识,代表研究性命题的发展趋势,选择题、填空题、解答题都可能涉及到,该部分命题的方向主要会在函数、三角、数列、立体几何、解析几何等方面,在新的高考中都会涉及和渗透,但单独出题的可能性较小;

  总得说来,这一章在高考命题上将会呈现以下特点:

  1、考查题型以选择题、填空为主,偶以解答题形式出现,但多数是解答题中的一部分,如与数列、函数、解析几何等结合考查,分值约占10%左右,既有中低档题也会有高档题出现;

  2、重点考查不等式解法、不等式应用、线性规划以及不等式与其他知识的结合,另在推理与证明中将会重点考查。

  合情推理与演绎推理及证明方法,偶尔对数学归纳法的考查,注重知识交汇处的命题;

  3、预计本章在今后的高考中仍将在不等式的解法、基本不等式应用、线性规划以及推理与证明与其他知识的交汇处命题,更加注重应用与能力的考查。

  6.1不等式

  【高考目标导航】

  一、不等关系与不等式

  1、考纲点击

  (1)了解现实世界和日常生活中的不等关系;

  (2)了解不等式(组)的实际背景;

  (3)掌握不等式的性质及应用。

  2、热点提示

  (1)不等式的性质为考查重点,对于不等关系,常与函数、数列、简易逻辑及实际问题相结合进行综合;

  (2)用待定系数法求参数的范围问题是重点,也是难点;

  (3)题型以选择题和填空题为主,主要在与其他知识点交汇处命题。

  二、一元二次不等式及其解法

  1、考纲点击

  (1)会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型;

  (2)通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系;

  (3)会解一元二次不等式,对给定的一元二次不等式,会设计求解的程序框图。

  2、热点提示

  (1)以考查一元二次不等式的解法为主,兼顾二次方程的判别式、根的存在性等知识;

  (2)以集合为载体,考查不等式的解法及集合的运算;

  (3)以函数、数列、解析几何为载体,以二次不等式的解法为手段,考查求参数的范围问题;

  (4)以选择、填空题为主,偶尔穿插于解答题中考查。

  三、二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题

  1、考纲点击

  (1)会从实际情境中抽象出二元一次不等式组;

  (2)了解二元一次不等式的几何意义,能用平面区域表示二元一次不等式组;

  (3)会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题,并能加以解决。

  2、热点提示

  (1)重点考查线性目标函数的最值,兼顾考查代数式的几何意义(如斜率、距离、面积等);

  (2)多在选择、填空题中出现,有时会在解答题中出现,常与实际问题相联系,列出线性约束条件,求出最优解。

  四、基本不等式

  1、考纲点击

  (1)了解基本不等式的证明过程;

  (2)会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题。

  2、热点提示

  (1)以考查基本不等式的应用为重点,兼顾考查代数式变形、化简能力,注意“一正、二定、三相等”的条件;

  (2)考查方式灵活,可出选择题、填空题,也可出以函数为载体的解答题;

  (3)以不等式的证明为载体,与其他知识结合在一起来考查基本不等式,证明不会太难。但题型多样,涉及面广。

  【考纲知识梳理】

  一、不等关系与不等式

  1、比较两实数大小的方法??求差比较法

  2、不等式的基本性质

  定理1:若 ,则 ;若 ,则 .即 。

  注:把不等式的左边和右边交换,所得不等式与原不等式异向,称为不等式的对称性。

  定理2:若 ,且 ,则 。

  注:此定理证明的主要依据是实数运算的符号法则及两正数之和仍是正数;定理2称不等式的传递性。

  定理3:若 ,则 。

  注:(1)不等式的两边都加上同一个实数,所得不等式与原不等式同向;

  (2)定理3的证明相当于比较 与 的大小,采用的是求差比较法;

  (3)定理3的逆命题也成立;

  (4)不等式中任何一项改变符号后,可以把它从一边移到另一边。

  定理3推论:若 。

  注:(1)推论的证明连续两次运用定理3然后由定理2证出;(2)这一推论可以推广到任意有限个同向不等式两边分别相加,即:两个或者更多个同向不等式两边分别相加,所得不等式与原不等式同向;(3)同向不等式:两个不等号方向相同的不等式;异向不等式:两个不等号方向相反的不等式。

  定理4.如果 且 ,那么 ;如果 且 ,那么 。

  推论1:如果 且 ,那么 。

  注:(1)不等式两端乘以同一个正数,不等号方向不变;乘以同一个负数,不等号方向改变;(2)两边都是正数的同向不等式的两边分别相乘,所得不等式与原不等式同向;(3)推论 可以推广到任意有限个两边都是正数的同向不等式两边分别相乘。这就是说,两个或者更多个两边都是正数的同向不等式两边分别相乘,所得不等式与原不等式同向。

  推论2:如果 , 那么 。

  定理5:如果 ,那么 。

  3、不等式的一些常用性质

  (1)倒数性质

  (2)有关分数的性质

  若 ,则

  ①真分数的性质:

  ②假分数的性质:

  4、基本不等式

  定理1:如果 ,那么 (当且仅当 时取“ ”)。

  注:(1)指出定理适用范围: ;(2)强调取“ ”的条件 。

  定理2:如果 是正数,那么 (当且仅当 时取“=”)

  注:(1)这个定理适用的范围: ;(2)我们称 的算术平均数,称 的几何平均数。即:两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。

  二、一元二次不等式及其解法

  1、一元二次不等式与相应的一元二次函数及一元二次方程的关系如下表:

  判别式

  Δ=b2-4acΔ>0Δ=0Δ<0

  二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象

  一元二次方程ax2+bx+c=0(a>0)的根有两相异实根x1,x2(x1<x2)有两相等实根x1=x2=

  没有实数根

  ax2+bx+c>0(a>0)的解集

  ax2+bx+c<0(a>0)的解集

  注:当a<0时,可利用不等式的性质将二次项系数化为正数,注意不等号的变化,而后求得方程两根,再利用“大于号取两边,小于号取中间”求解。

  2、用程序框图来描述一元二次不等式ax2+bx+c>0(a>0)的求解的算法过程为:

  三、二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题

  1、二元一次不等式(组)表示的平面区域

  (1)在平面直角坐标系中,直线 将平面内的所有点分成三类:一类在直线 上,另两类分居直线 的两侧,其中一侧半平面的点的坐标满足 ,另一侧的半平面的点的坐标满足 ;

  (2)二元一次不等式 在平面直角坐标系中表示直线 某一侧的平面区域且不含边界,直线作图时边界直线画成虚线,当我们在坐标系中画不等式 所表示的平面区域时,此区域应包括边界直线,此时边界直线画成实线。

  (3)不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示平面点集的交集,因而是各个不等式所表示平面区域的公共部分。

  2、线性规划的有关概念

  名称意 义

  约束条件由变量x,y组成的不等式组

  线性约束条件由x,y的一次不等式(或方程)组成的不等式组

  目标函数关于x,y的函数解析式,如z=2x+3y

  线性目标函数关于x,y的一次解析式

  可行解满足线性约束条件的解(x,y)

  可行域所有可行解组成的集合

  最优解使目标函数取得最大值或最小值的可行解

  线性规划问题在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题

  注:最优解必定是可行解,但可行解不一定是最优解,最优解不一定唯一,有时唯一,有时有多个。

  四、基本不等式

  1、基本不等式

  定理1:如果 ,那么 (当且仅当 时取“ ”)。

  注:(1)指出定理适用范围: ;(2)强调取“ ”的条件 。

  定理2:如果 是正数,那么 (当且仅当 时取“=”)

  注:(1)这个定理适用的范围: ;(2)我们称 的算术平均数,称 的几何平均数。即:两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。

  2、常用字的几个重要不等式

  注:上述不等式成立的条件是a=b

  3、利用基本不等式求最佳问题

  已知x>0,y>0,则:

  (1)如果积xy是定值p,那么当且仅当x=y时,x+y有最小值是 (简记:积定和最小);

  (2)如果和x+y是定值p,那么当且仅当x=y时,xy有最大值是 。(简记:和定积最大)

  4、算术平均值与几何平均值

  设a>0,b>0,则a,b的的算术平均值为 ,几何平均值为 ,均值不等式可叙述为:两个正实数的自述平均值大于或等于它们的几何平均值。

  【要点名师透析】

  一、不等关系与不等式

  (一)应用不等式表示不等关系

  ※相关链接※

  1、将实际的不等关系写成对应的不等式时,应注意实际问题中关键性的文字语言与对应的数学符号之间的正确转换,这关系到能否正确地用不等式表示出不等关系。常见的文字语言与数学符号之间的转换关系如下表:

  2、注意区分“不等关系”和“不等式”的异同,不等关系强调的是关系,可用 表示,不等式则是表现不等关系的式子,对于实际问题中的不等关系可以从“不超过”、“至少”、“至多”等关键词上去把握,并考虑到实际意义。

  ※例题解析※

  〖例某汽车公司由于发展的需要需购进一批汽车,计划使用不超过1000万元的资金购买单价分别为40万元、90万元的A型汽车和B型汽车。根据需要,A型汽车至少买5辆,B型汽车至少买6辆,写出满足上述所有不等关系的不等式。

  思路解析:把握关键点,不超过1000万元,且A、B两种车型分别至少5辆、6辆,则不等关系不难表示,要注意取值范围。

  解答:设购买A型汽车和B型汽车分别为x辆、y辆,则

  (二)比较大小

  ※相关链接※

  比较实数或代数式的大小的方法主要是作差法和作商法。

  1、“作差法”的一般步骤是:(1)作差;(2)变形;(3)判断符号;(4)得出结论。用“作差法”比较两个实数大小的关键是判断差的正负,常采用配方、因式分解、有理化等方法。常用的结论有 , , 等。当两个式子都为正时,有时也可以先平方再作差。

  2、作商法的一般步骤是:

  (1)作商;(2)变形;(3)判断商与1的大小;(4)得出结论。

  注:当商与1的大小确定后必须对商式的分母的正负做出判断方可得出结论,如: , ;

  3、特例法

  若是选择题还可以用特殊值法比较大小,若是解答题,也可以用特殊值法探路.

  ※例题解析※

  〖例(1)设 ,试比较 与 的大小;

  (2)

  已知a,b,c∈{正实数},且 ,当n∈N,n>2时,比较 与 的大小。

  思路解析:(1)作差,通过分解因式判断差的符号;

  (2)本题需比较的式子是幂的形式,因此考虑用作商比较。

  解答:(1)方法一:

  方法二:∵x<y<0,

  (2)∵a,b,c∈{正实数},∴ .

  (三)不等式性质的应用

  〖例设f(x)=ax2+bx,1≤f(-1)≤2,2≤f(1)≤4.求f(-2)的取值范围。

  思路解析:由f(x)关系式 f(-2)与f(1) 和f(-1)的关系 利用f(1) 和f(-1)的范围 f(-2)的范围。

  解答:(方法一)设f(-2)=m f(-1)+n f(1)(m、n为待定系数),则4a-2b=m(a-b)+n(a+b).即4a-2b=(m+n)a+(n-m)b.于是得 ,解得 ,∴f(-2)=3f(-1)+f(1)。又∵1≤f(-1)≤2,2≤f(1)≤4,∴5≤3f(-1)+f(1)≤10,故5≤f(-2)≤10。

  (方法二)

  (方法三)由 确定的平面区域如图阴影部分:

  当f(-2)=4a-2b过点 时,取得最小值 ,当f(-2)=4a-2b过点B(3,1)时,取得最大值4×3-2×1=10,∴5≤f(-2)≤10

  注:由a<f1(x1,y1)<b,c<f2(x1,y1)<d,求g(x1,y1)的取值范围,可利用待定系数法解决,即设g(x1,y1)=pf1(x1,y1)+qf2(x1,y1),用恒等变形求得p,q,再利用不等式的性质求得g(x1,y1)取值范围。

  (四)不等式的证明

  〖例已知a>0,b>0,且a+b=1 求证 (a+ )(b+ )≥ 。

  证明:证法一: (分析综合法)

  欲证原式,即证4(ab)2+4(a2+b2)-25ab+4≥0,

  即证4(ab)2-33(ab)+8≥0,即证ab≤ 或ab≥8

  ∵a>0,b>0,a+b=1,∴ab≥8不可能成立

  ∵1=a+b≥2 ,∴ab≤ ,从而得证。

  证法二: (均值代换法)

  设a= +t1,b= +t2。

  ∵a+b=1,a>0,b>0,∴t1+t2=0,t1< ,t2< ,

  显然当且仅当t=0,即a=b= 时,等号成立

  证法三:(比较法)

  ∵a+b=1,a>0,b>0,∴a+b≥2 ,∴ab≤ ,

  证法四:(综合法)

  ∵a+b=1, a>0,b>0,∴a+b≥2 ,∴ab≤ ,

  证法五:(三角代换法)

  ∵ a>0,b>0,a+b=1,故令a=sin2α,b=cos2α,α∈(0, ),

  方法提示:

  由a<f(x,y)<b,c<g(x,y)<d,求F(x,y)的取值范围,可利用待定系数法解决,即设F(x,y)=mf(x,y)+ng(x,y),用恒等变形求得m,n,再利用不等式的性质求得F(x,y)的取值范围.

  提醒:同时应用多个不等式时,容易改变不等式的范围,特别是多次运用同向不等式相加这一性质,因不是等价关系,易导致出错.

  二、一元二次不等式及其解法

  (一)一元二次不等式的解法

  ※相关链接※

  解一元二次不等式的一般步骤

  (1)对不等式变形,使一端为0且二次项系数大于0,即

  (2)计算相应的判别式;

  (3)当Δ≥0时,求出相应的一元二次方程的根;

  (4)根据对应二次函数的图象,写出不等式的解集。

  ※例题解析※

  〖例解下列不等式:

  (1)2x2+4x+3<0;(2)-3x2-2x+8≤0;(3)8x-1≥16x2.

  思路解析:首先将二次项系数转化为正数,再看二次基项式能否因式分解,若能,则可得方程的两根,且大于号取两边,小于号取中间,若不能,则再“Δ”,利用求根公式求解方程的根,而后写出解集。

  解答:(1)∵Δ=42-4×2×3=16-24=-8<0,∴方程2x2+4x+3=0没有实根,∴2x2+4x+3<0的解集为;

  (2)原不等式等价于3x2+2x-8≥0 (x+2)(3x-4)≥0 x≤-2或x≥

  (3)原不等式等价于16x2-8x+1≤0 (4x-1)2≤0,∴只有当4x-1=0,即x= 时,不等式成立。故不等式的解集为

  (二)含字母参数的不等式的解法

  ※相关链接※

  含参数的一元二次不等式关于字母参数的取值范围问题,其主要考查二次不等式的解集与系数的关系以及分类讨论的数学思想。

  1、解答分类讨论问题的基本方法和步骤是:

  (1)要确定讨论对象以及所讨论对象的全体的范围;

  (2)确定分类标准,正确进行合理分类;

  (3)对所分类逐步进行讨论,分级进行,获取阶段性结果;

  (4)进行归纳总结,综合得出结论。

  2、对于解含有参数的二次不等式,一般讨论的顺序是:

  (1)讨论二次项系数是否为0,这决定此不等式是否为二次不等式;

  (2)当二次项系数不为0时,讨论判别式是否大于0;

  (3)当判别式大于0时,讨论二次项系数是否大于0,这决定所求不等式的不等号的方向;

  (4)判断二次不等式两根的大小。

  ※例题解析※

  〖例解关于x的不等式(1-ax)2<1

  思路解析:将不等式左边化为二次三项式,右边等于0的形式,并将左边因式分解,据a的取值情况分类讨论。

  解答:由(1-ax)2<1处

  (1)

  注:解含参数的一元二次不等式,可先考虑因式分解,再对参数进行分类讨论;若不能因式分解,则可对判别式进行分类讨论,分类要不重不漏。若二次项系数含参数,则不要忘了二次项系数是否为零的情况。

  (三)一元二次不等式的实际应用

  ※相关链接※

  1、实际应用问题是新课标下考查的重点,突出了应用能力的考查,在不等式应用题中常以函数模型出现,如一元二次不等式应用题常以二次函数为模型,解题时要理清题意,准确找出其中不等关系再利用不等解法求解;

  2、不等式应用题一般可按如下四步进行:

  (1)阅读理解、认真审题,把握问题中的关键量,找准不等关系;

  (2)引进数学符号,用不等式表示不等关系;

  (3)解不等式;

  (4)回归实际问题。

  ※例题解析※

  〖例国家原计划以2400元/吨的价格收购某种农产品m吨,按规定,农户向国家纳税为:每收入100元纳税8元(称作税率为8个百分点,即8%)。为了减轻农民负担,决定降低税率。根据市场规律,高效率降低x个百分点,收购量能增加2x个百分点。试确定x的范围,使税率调低后,国家此项税收总收入不低于原计划的78%。

  思路解析:表示高效率调低后的税收收入 列不等关系 解不等关系 得结论

  解答:设税率调低后的税收总收入为y元,则

  (四)一元二次不等式恒成立问题

  〖例求使 ≤a (x>0,y>0)恒成立的a的最小值。

  思路解析:本题解法三利用三角换元后确定a的取值范围,此时我们习惯是将x、y与cosθ、sinθ来对应进行换元,即令 =cosθ, =sinθ(0<θ< =,这样也得a≥sinθ+cosθ,但是这种换元是错误的 其原因是:(1)缩小了x、y的范围;(2)这样换元相当于本题又增加了“x、y=1”这样一个条件,显然这是不对的。

  除了解法一经常用的重要不等式外,解法二的方法也很典型,即若参数a满足不等关系,a≥f(x),则amin=f(x)max 若 a≤f(x),则amax=f(x)min,利用这一基本事实,可以较轻松地解决这一类不等式中所含参数的值域问题。还有三角换元法求最值用的恰当好处,可以把原问题转化。

  解答:解法一:由于a的值为正数,将已知不等式两边平方,

  得:x+y+2 ≤a2(x+y),即2 ≤(a2-1)(x+y),①

  ∴x,y>0,∴x+y≥2 , ②

  当且仅当x=y时,②中有等号成立。

  比较①、②得a的最小值满足a2-1=1,

  ∴a2=2,a= (因a>0),∴a的最小值是 。

  解法二:设

  ∵x>0,y>0,∴x+y≥2 (当x=y时“=”成立),

  ∴ ≤1, 的最大值是1。

  从而可知,u的最大值为 ,

  又由已知,得a≥u,∴a的最小值为 ,

  解法三:∵y>0,

  ∴原不等式可化为 +1≤a ,

  设 =tanθ,θ∈(0, )。

  ∴tanθ+1≤a ,即tanθ+1≤asecθ

  ∴a≥sinθ+cosθ= sin(θ+ ),③

  又∵sin(θ+ )的最大值为1(此时θ= )。

  由③式可知a的最小值为 。

  注:(1)解决恒成立问题一定要搞清谁是自变量,谁是参数。一般地,知道谁的范围,谁就是变量,求谁的范围,谁就是参数;

  (2)对于二次不等式恒成立问题,恒大于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴上方,恒小于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴下方。

  三、二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题

  (一)二元一次不等(组)表示平面区域

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  二元一次不等式(组)表示平面区域的判断方法

  (1)直线定界,特殊点定域

  注意不等式中不等号有无等号,无等号时直线画成虚线,有等号时直线画成实线。若直线不过原点,特殊点常选取原点。

  (2)同号上,异号下

  即当 时,区域为直线Ax+By+C=0的上方,当 ,区域为直线Ax+By+C=0的下方。

  ※例题解析※

  〖例如图ΔABC中,A(0,1),B(-2,2),C(2,6),写出ΔABC区域所表示的二元一次不等组。

  思路解析:通过三点可求出三条直线的方程,而后利用特殊点验证。因三条直线均不过原点,故可由原点(0,0)验证即可。

  解答:由已知得直线AB、BC、CA的方程分别为:直线AB:x+2y-2=0,直线BC:x-y+4=0,直线CA:5x-2y+2=0.∴原点(0,0)不在各直线上,将原点坐标代入到各直线方程左端,结合式子的符号可得不等式组为:

  (二)求目标函数的最值

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  1、求目标函数的最值,必须先准确地作出线性可行域,再作出目标函数对应的直线,据题意确定取得最优解的点,进而求出目标函数的最值。

  2、最优解的确定方法

  线性目标函数z=ax+by取最大值时的最优解与b的正负有关,当b>0时,最优解是将直线ax+by=0在可行域内向上方平移到端点(一般是两直线交点)的位置得到的;当b<0,则是向下方平移。

  ※例题解析※

  〖例若变量x,y满足 则 的最大值是( )

  A 90 B 80 C 70 D 40

  思路解析:作出可行域 作出直线3x+2y=0 找到最优解 求得最大值

  解答:选C。线性不等式组表示的区域如图中阴影部分所示。

  可知 在A点处取最大值,由 ,解得A(10,20)。∴ 故选C。

  (三)线性规划的实际应用

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  解决线性规划实际应用题的一般步骤:

  (1)认真审题分析,设出未知数,写出线性约束条件和目标函数;

  (2)作出可行域;

  (3)作出目标函数值为零时对应的直线

  (4)在可行域内平行移动直线 ,从图中能判定问题有唯一最优解,或是有无穷最优解或无最优解;

  (5)求出最优解,从而得到目标函数的最值。

  注:解线性规划问题的关键步骤是在图上完成的,所以作图应尽可能精确,图上操作尽可能规范,假若图上的最优点并不明显时,不妨将几个有可能是最优点的坐标都求出来,然后逐一检验,以“验明正身”。另外对最优整数解问题,可使用“局部微调法”,此方法的优点是思路清晰,操作简单,便于掌握。用“局部微调法”求整点最优解的关键是“微调”,其步骤可用以下十二字概括:微调整、求交点、取范围、找整解。

  ※例题解析※

  〖例某公司仓库A存有货物12吨,仓库B存有货物8吨,现按7吨、8吨和5吨把货物分别调运给甲、乙、丙,每吨货物的运费分别为8元、6元、9元;从仓库B运货物到商店甲、乙、丙,每吨货物的运费分别为3元、4元、5元。问应如何安排调运方案,才能得到从两个仓库货物到三个商店的总运费最少?

  思路解析:由于题目中量比较多,所以最好通过列出表格以便清晰地展现题目中的条件。设出仓库A运给甲、乙商店的货物吨数可得运到丙商店的货物吨数,列出可行域,即可求解。

  解答:将已知数据列成下表:

  设仓库A运给甲、乙商店的货物分别为x吨,y吨,则仓库A运给丙商店的货物为(12-x-y)吨,从而仓库B运给甲、乙、丙商店的货物分别为(7-x)吨、(8-y)吨、[5-(12-x-y)]=(x+y-7)吨,于是总运费为:

  Z=8x+6y+8(12-x-y)+3(7-x)+4(8-y)+5(x+y-7)=x-2y+126.

  ∴线性约束条件为 即 。目标函数为: 作出上述不等式组表示的平面区域,即可行域,如图中阴影部分所示:

  作出直线 :x-2y=0,把直线 平行移动,显然当直线 移动到过点(0,8),在可行域内, 取得最小值 ,即x=0,y=8时总运费最少。

  安排的调运方案如下:仓库A运给甲、乙、丙商店的货物分别为0吨、8吨、4吨,仓库B运给甲、乙、丙商店的货物分别为7吨、0吨、1吨,此时可使得从两个仓库运货物到三个商店的总运费最少。

  注:求线性规划问题的整点最优解常用以下方法:

  (1)平移直线法:先在可行域中画网格,再描整点,平移直线 ,最先经过或最后经过的整点坐标就是最优解;

  (2)检验优值法:当可行域中整点个数较少时,可将整点坐标逐一代入目标函数求值,经过比较得出最优解;

  (3)调整优值法;先求非整点最优解,再借助于不定方程知识调整最优值,最后筛选出整点最优解。

  (四)线性规划的综合应用

  〖例实数x,y满足

  (1)若 ,求 的最大值和最小值,并求 的取值范围。

  (2)若 ,求 的最大值和最小值,并求 的取值范围。

  思路解析:(1) 表示的是区域内的.点与原点连线的斜率。故 的最值问题即为直线的斜率的最大值与最小值。(2) 的最值表示的是区域内的点与原点的两点距离的平方的最大值、最小值。

  解答:由 作出可行域如图阴影部分所示:

  (1) 表示可行域内任一点与坐标原点连线的斜率,因此 的范围为直线OB的斜率到直线OA的斜率(OA斜率不存在)。而由 得B(1,2),∴ ∴ 不存在, ,∴ 的取值范围是[2,+∞)。

  (2) 表示可行域内的任意一点与坐标原点的两点间距离的平方。因此 的范围最小为 (取不到),最大为 。由 得A(0,1),∴ = , = 。∴ , 无最小值。

  故 的取值范围是 .

  注:本例与常规线性规划不同,主要是目标函数不是直线形式,此类问题常考虑目标函数的几何意义,常见代数式的几何意义主要有以下几点:

  (1) 表示点(x,y)与原点(0,0)的距离; 表示点(x,y)与(a,b)的距离。

  (2) 表示点(x,y)与原点(0,0)连线的斜率; 表示点(x,y)与(a,b)连线的斜率。

  这些代数式的几何意义能使所求问题得以转化,往往是解决问题的关键。

  四、基本不等式

  (一)利用基本不等式求最值

  ※相关链接※

  1、创设应用基本不等式的条件

  (1)合理拆分项或配凑因式是常用的技巧,而拆与凑的目标在于使等号成立,且每项为正值,必要时需出现积为定值或和为定值;

  (2)当多次使用基本不等式时,一定要注意每次是否能保证等号成立,并且要注意取等号的条件的一致性,否则就会出错,因此在利用基本不等式处理问题时,列出等号成立的条件不仅是解题的必要步骤,而且也是检验转换是否有误的一种方法。

  2、利用基本不等式求最值需注意的问题

  (1)各数(或式)均为正;

  (2)和或积为定值;

  (3)等号能否成立,即一正、二定、三相等,这三个条件缺一不可。

  3、基本不等式的几种变形公式

  对于基本不等式,不仅要记住原始形式,而且还要掌握它的几种常见的变形形式及公式的逆运用等,如:

  ※例题解析※

  〖例求下列各题的最值。

  (1)已知 ,求 的最小值。

  (2)

  (3)

  (4)

  思路解析:(1)由 得 ,故可用基本不等式。(2)由 是常数,故可直接利用基本不等式(3)因 不是常数,故需变形。 ,故需变号。(4)虽然 ,但利用基本不等式时,等号取不到,所以利用函数的单调性。

  解答:(1)方法一: 。∴ 。当且仅当 ,即 时等号成立。

  方法二:由 得 。当且仅当 ,即 时等号成立。

  (2)

  (3)

  当且仅当 ,即x=1时,等号成立。故f(x)的最大值为-1.

  (4) 则

  (二)利用基本不等式证明不等式

  ※相关链接※

  1、利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况,其实质就是从已知的不等式入手,借助不等式性质和基本不等式,经过逐步的逻辑推理,最后推得所证问题,其特征是“由因导果”。

  2、证明不等式时要注意灵活变形,多次利用基本不等式时,注意每次等号是否都成立。同时也要注意应用基本不等式的变形形式。

  ※例题解析※

  〖例1(1)已知a>0,b>0,a+b=1,求证: (2)证明:

  思路解析:(1)利用a+b=1将要证不等式中的1代换,即可得证。(2)利用 两两结合即可求证,但需两次利用不等式,注意等号成立的条件。

  解答:(1)方法一: (当且仅当a=b= 时等号成立)。∴ 。∴原不等式成立。

  方法二:∵a>0,b>0,a+b=1,∴ (当且仅当a=b= 时等号成立)。∴原不等式成立。

  (2) 。故原不等式得证,等号成立的条件是

  〖例2已知不等式 对任意 、 的正实数恒成立,求正数 的最小值。

  思路解析:展开后,利用基本不等式,而后解不等式可求 值。

  解答: ∴要使原不等式恒成立,则只需 ≥9,即 ∴正数 的最小值是4。

  注:利用基本不等式求参数的值或范围时,只需求出式子的最小值或最大值,使其满足已知条件即可。

  (三)基本不等式的实际应用

  〖例某造纸厂拟建一座平面图形为矩形且面积为162平方米的三级污水处理池,池的深度一定(平面图如图所示), ,如果池四周围墙建造单价为400元/米2,中间两道隔墙建造单价为248元/米2,池底建造单价为80248元/米2,水池所有墙的厚度忽略不计。

  (1)试设计污水处理池的长和宽,使总造价最低,并求出最低总造价;

  (2)若由于地形限制,该池的长和宽都不能超过16米,试设计污水池的长和宽,使总造价最低,并求出最低总造价。

  思路解析:(1)由题意设出未知量 构建函数关系式 变形转化利用基本不等式 求得最值 结论;(2)由(1)函数关系 确定x的范围 判断函数单调性 利用单调性求最值 结论。

  解答:(1)设污水处理池的宽为x米,则长为 米。则总造价为

  (2)由限制条件知 设 由函数性质易知 在 上是增函数,∴当 时(此时 ), 有最小值,即 有最小值

  注:(1)解应用题时,一定要注意变量的实际意义,即其取值范围;(2)在求函数最值时,除应用基本不等式外,有时会出现基本不等式取不到等号,此时要利用函数的单调性。

  【感悟高考真题】

  1、(2011?安徽高考文科?T7)若数列 的通项公式是 n=(-1)n(3 -2),则 …

  (A)15 (B)12 (C) 12 (D) 15

  【思路点拨】观察数列 的性质,得到

  【精讲精析】选A. 故

  2、(2011?安徽高考理科?T4)设变量 满足 则 的最大值和最小值分别为

  (A)1,-1 (B)2,-2 (C)1,-2 (D)2,-1

  【思路点拨】此题属于线性规划问题,先画出 表示的平面区域,再求目标函数z= 的最值.

  【精讲精析】选B.首先画出 表示的平面区域

  由图像可知当目标函数过点(0,1)时取得最大值2,

  过点(0,-1)时取得最小值-2.

  3、(2011?北京高考文科?T7)某车间分批生产某种产品,每批的生产准备费用为800元,若每批生产x件,则平均仓储时间为 天,且每件产品每天的仓储费用为1元,为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小,每批应生产产品( )

  (A)60件 (B)80件 (C)100件 (D)120件

  【思路点拨】写出平均每件产品费用的函数,再利用均值不等式求出最值.

  【精讲精析】选B.平均每件产品的费用为 当且仅当 ,即 时取等号.所以每批应生产产品80件,才能使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小.

  4、(2011?安徽高考理科?T19)(Ⅰ)设 证明

  (Ⅱ)设 ,证明

  【思路点拨】利用不等式的基本性质,对数函数的性质和对数换底公式的知识.

  【精讲精析】证明:(1)由于

  所以要证明 ,

  只需证

  将上式中的右式减左式,得

  既然 所以 从而所要证明的不等式成立.

  (Ⅱ)设 ,由对数的换底公式得

  于是,所要证明的不等式即为

  其中

  故由(Ⅰ)成立知 成立.

  【考点精题精练】

  一、选择题

  1、下列选项中,p是q的必要不充分条件的是( )

  A.p: >b+d , q: >b且c>d

  B.p:a>1,b>1 q: 的图像不过第二象限

  C.p: x=1, q:

  D.p:a>1, q: 在 上为增函数

  解析:由 >b且c>d >b+d,而由 >b+d >b且c>d,可举反例。选A。

  2、已知 , , , 为实数,且 > .则“ > ”是“ - > - ”的( )

  A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件

  C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

  解析:显然,充分性不成立.又,若 - > - 和 > 都成立,则同向不等式相加得 >

  即由“ - > - ” “ > ”

  3、若a、b、c ,则下列不等式成立的是( )

  A. B. C. D.

  答案: C

  4、已知a、b、c∈R,则“a>b”是“ac2>bc2”的( )

  (A)充分而不必要条件

  (B)必要而不充分条件

  (C)充要条件

  (D)既不充分也不必要条件

  解析:选B.若c=0,则a>b ac2>bc2,但若ac2>bc2,则c2>0,∴ac2>bc2 a>b,故选B

  5、(2011?大连模拟)若a>b>0,则下列不等式不成立的是( )

  (A) (B)a2>b2

  (C)a+b≥ (D)

  【解析】选D.∵a>b>0,∴ ,a2>b2故A、B成立,又a+b> a+b≥ , ∴C成立,故选D.

  6、(2011?日照模拟)下列结论正确的是( )

  (A) x∈R,使2x2-x+1<0成立

  (B)

  (C) 的最小值为2

  (D)0<x≤2时,函数y=x- 有最大值为

  【解析】选D.∵2x2-x+1=2(x- )2+ ≥ >0,

  ∴ x∈R,都有2x2-x+1<0不成立;∵ x>1,都有 成立,∴ x>0,都有lgx+ ≥2不成立;

  若 则当且仅当x2+2=1时,不等式取等号,显然不可能;当0<x≤2时,函数y=x- 为增函数,其最大值为 即此结论正确,故应选D.

  7、实数x、y满足不等式组 ,则 的取值范围 ( )

  A.[-1, ] B.[- , ] C. D.

  答案:D

  8、下列结论中,错用基本不等式做依据的是( )

  A.a,b均为负数,则 B.

  C. D.

  答案:C

  9、已知y=f(x)是R上的减函数,且y=f(x)的图象经过点A(0,1)和点B(3,-1),则不等式<1的解集为( )

  A.(-1,2) B.(0,3) C.(-∞,-2) D.(-∞,3)

  答案:A

  10、设 , ,则下列不等式中一定成立的是 ( )

  A. B. C. D.

  答案:C

  11、已知实数x,y满足 的最小值为( )

  A.5B.10 C.25D.210

  答案:A

  12、已知|a|≠|b|,m= ,n= ,则m、n之间的大小关系是( )

  A. m>n B. m<n C. m nD. m≤n

  答案:D

  二、填空题

  13、(2011?济南模拟)已知M=2(a2+b2),N=2a-4b+2ab-7,且a、b∈R,则M、N的大小关系为_______.

  【解析】M-N=(a2-2a+1)+(b2+4b+4)+(a2+b2-2ab)+2=(a-1)2+(b+2)2+(a-b)2+2>0.

  答案:M>N

  14、不等式 的解集为

  答案:

  15、若 ,则 与 的大小关系是

  答案:

  16、(2011?菏泽模拟)已知f(x)是定义在R上的以3为周期的奇函数,若f(1)>1,f(2)= ,则实数a的取值范围是_____.

  【解析】∵f(2)=f(2-3)=f(-1)=-f(1)<-1

  答案:(-1, )

  三、解答题

  17、(本小题12分)已知函数 ,求函数的最小值.

  解: ………………………………………………………2分

  …8分

  等号成立,所以 ………………………………………………12分

  18、某营养师要为某个儿童准备午餐和晚餐.已知一个单位的午餐含12个单位的碳水化合物,6个单位的蛋白质和6个单位的维生素C;一个单位的晚餐含8个单位的碳水化合物,6个单位的蛋白质和10个单位的维生素C.另外,该儿童这两餐需要的营养中至少含64个单位的碳水化合物,42个单位的蛋白质和54个单位的维生素C.

  如果一个单位的午餐、晚餐的费用分别是2.5元和4元,那么要满足上述的营养要求,并且花费最少,应当为该儿童分别准备多少个单位的午餐和晚餐?

  解析:设为该儿童分别准备x,y个单位的午餐和晚餐,共需z元,则z=2.5x+4y,

  可行域为

  即 作出可行域如图阴影中的整点:

  所以,当x=4,y=3时,

  花费最少,为zmin=2.5×4+4×3=22(元).

  答:应当为该儿童分别准备4个单位午餐和3个单位晚餐.

  2016届高考数学备考复习:函数与方程及函数的实际应用

  j.Co M

  专题一:集合、常用逻辑用语、不等式、函数与导数

  第三讲 函数与方程及函数的实际应用

  【最新考纲透析】

  1.函数与方程

  (1)结合二次函数的图象,了解函数的零点与方程根的联系,判断一元二次方程根的存在性及根的个数。

  (2)根据 具体函数的图象,能够用二分法求相应方程的近似解。

  2.函数模型及其应用

  (1)了解指数函数、对数函数以及幂函数的增长特征,知道直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义。

  (2)了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用。

  【核心要点突破】

  要点考向一:函数零点问题

  考情聚焦:1.函数的零点是新课标的新增内容,其实质是相应方程的根,而方程是高考重点考查内容, 因而函数的零点亦成为新课标高考命题的热点.

  2.常与函数的图象、性质等知识交汇命题,多以选择、填空题的形式考查。

  考向链接:1.函数零点(方程的根)的确定问题,常见的类型有(1)零点或零点存在区间的确定;(2)零点个数的确定;(3)两函数图象交战的横坐标或有几个交点的确定;解决这类问题的常用方法有:解方 程法、利用零点存在的判定或数形结合法,尤其是那些方程两端对应的函数类型不同的方程多以数形结合法求解。

  2.函数零点(方程的根)的应用问题,即已知函数零点的存在情况求参数的值或取值范围问题,解决该类问题关键是利用函数方程思想或数形结合思想,构建关于参数的方程或不等式求解。

  例1:(2010?福建高考文科?T7)函数 的零点个数为( )

  A.2 B.3 C.4 D.5

  【命题立意】本题从分段函数的角度出发,考查了学生对基本初等函数的掌握程度。

  【思路点拨】作出分段函数的图像,利用数形结合解题。

  【规范解答】选C, ,绘制出图像大致如右图,所以零点个数为2。

  【方法技巧】本题也可以采用分类讨论的方法进行求解。

  令 ,则

  (1)当 时, , 或 (舍去);

  (2)当 时, ,

  综上述:函数 有两个零点。

  要点考向二:用二分法求函数零点近似值

  考情聚焦:1.该考向虽然在近几年新课标高考中从未涉及,但由于二分法是求方程根的近似值的重要方法,其又是新课标新增内容,预计在今后的新课标高考中可能会成为新的亮点.

  2.该类问题常与函数的图象、性质交汇命题,考查学生的探究和计算能力。

  考向链接:用二分法求函数零点近似值的步骤

  (1)确定区间[a,b],验证f(a)?f(b)<0,给定精确度 ;(2)求区间(a,b)的中点 ;(3)计算f( );

  ①当f( )=0,则 就是函数的零点;

  ②若f(a)?f( )<0,则令b= (此时零点 ),

  ③若f( )?f(b)<0,则令a= (此时零点 )。

  (4)判断是否达到其精确度 ,则得零点近似值,否则重复以上步骤。

  例2:已知函数

  (1)求证函数 在区间[0,1]上存在惟一的极值点。

  (2)用二分尖求函数取得极值时相应 的近似值。(误差不超过0.2;参数数据 )

  【思路解析】求导数→ → 在[0,1]上单调→得出结论→取初始区间→用二分法逐次计算→得到符合误差的近似值.

  【解答】

  (2)取区间 [0,1]作为起始区间,用二分法逐次计算如下:

  区间中点坐标中点对应导数值取值区间

  [0,1]1

  [0,0.5]0.5

  [0.25,0.5]0.25

  由上表可知区间[0.25,0.5]的长度为0.25,所以该区间的中点 ,到区间端点距离小于0.2,因此可作为误差不超过0.2的一个极值点的相应 的值.

  函数 取得极值时,相应

  要点考向二:函数的实际应用

  考情聚焦:1.函数的实际应用历年来一直是高考的热点,考查现实生活中的热点问题,如生产经营,环境保护,工程建设等相关的增长率、最优化问题。

  2.常用导数、基本不等式、函数的单调性等重要知识求解。

  例3:(2010?湖北高考理科?T17)为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗,房屋的屋顶 和外墙需要建造隔热层.某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层,每厘米厚的隔热层建造成本为6万元.该建筑物每年的能源消耗费用C(单位:万元)与隔热层厚度 (单位:cm)满足关系: ,若不建隔热层,每年能源消耗费用为8万元.设 为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和.

  (Ⅰ)求 的值及 的表达式;

  (Ⅱ)隔热层修建多厚时,总费用 达到最小,并求最小值.

  【命题立意】本题主要考查由实际问题求函数解析式、利用导数求函数最值,考查考生的阅读理解及运算求解能力.

  【思路点拨】 的表达式 的最小值

  【规范解答】(Ⅰ)设隔热层厚度 cm,由题意建筑物每年的能源消耗费用为 ,再由 得 ,故 ;又 厘米厚的隔热层建造费用为 ,所以由题意 = + = + 。

  (Ⅱ) ,令 0

  得 (舍去),当 时, ,当 时, ,故 时 取得最小值,且最小值 = =70

  .因此当隔热层修建5cm厚时,总费用达到最小,且最小值为70万元。

  【方法技巧】解 函数应用题的第一关是:正确理解题意,将实际问题的要求转化为数学语言,找出函数关系式,注明函数定义域;第二关是:针对列出的函数解析式按题目要求,选择正确的数学思想将其作为一个纯数学问题进行解答。

  【高考真题探究】

  1.(2010上海文数)17.若 是方程式 的解,则 属于区间 [答]( )

  (A)(0,1). (B)(1,1.25). (C)(1.25,1.75) (D)(1.75,2)

  解析:

  知 属于区间(1.75,2)

  2.(2010天津理数)(2)函数f(x)= 的零点所在的一个区间是

  (A)(-2,-1)(B)(-1,0)(C)(0,1)(D)(1,2)

  【答案】B

  【解析】本题主要考查函数零点的概念与零点定理的应用,属于容易题。

  由 及零点定理知f(x)的零点在区间(-1,0)上。

  【温馨提示】函数零点附近函数值的符号相反,这类选择题通常采用代入排除的方法求解。

  3.(2010福建文数)21.(本小题满分12分)

  某港口 要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上,在小艇出发时,轮船位于港口 北偏西30°且与该港口相距20海里的 处,并正以30海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶。假设该小艇沿直线方向以 海里/小时的航行速度匀速行驶,经过 小时与轮船相遇。

  (Ⅰ)若希望相遇时小艇的航行距离最小,则小艇航行速度的大小应为多少?

  (Ⅱ)为保证小艇在30分钟内(含30分钟)能与轮船相遇,试确定小艇航行速度的最小值;

  (Ⅲ)是否存在 ,使得小艇以 海里/小时的航行速度行驶,总能有两种不同的航行方向与轮船相遇?若存在,试确定 的取值范围;若不存在,请说明理由。

  21.本小题主要考查解三角形、二次函数等基础知识,考查推理论证能力、抽象概括能力、运算求解能力、应用意识,考查函数函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想。

  解法一:

  设相遇时小艇的航行距离为S海里,则

  于是

  小艇总能有两种不同的航行方向与轮船相遇,等价于方程 应有两个不等正根,即:

  解法二:

  (I)若相遇时小艇的航行距离最小,又轮船沿正东方向匀速行驶,则小艇航行方向为正北方向。设小艇与轮船在C处相遇。

  则在Rt?OAC中,OC=20cos300=10- ,AC=30t,OC=vt.此时,轮船航行时间t= , 。即,小艇以30 海里/小时的速度航行时,相遇时小船的航行距离最小。

  【跟踪模拟训练】

  一、选择题(每小题6分,共36分)

  1. 若函数f(x)=x3+x2-2x-2的一个正数零点附近的函数值用二分法计算,参考数据如下:

  那么方程x3+x2-2x-2=0的一个近似根(精确度0.1)为( )

  (A)1.25(B)1.375(C)1.437 5 (D)1.5

  2.对于函数f(x)=x2+mx+n,若f(a)>0,f(b)>0,则函数f(x)在区间(a,b)内( )

  (A)一定有零点

  (B)一定没有零点

  (C)可能有两个零点

  (D)至多有一个零点

  3.如图,A、B、C、D是某煤矿的四个采煤点,l为公路,图中所示线段为道路,ABQP,BCRQ,CDSR近似于正方形,已知A,B,C,D四个采煤点每天的采煤量之比约为3∶2∶1∶5,运煤的费用与运煤的路程、所运煤的重量都成正比.现要从P,Q,R,S中选出一处设立一个运煤中转站,使四个采煤点的煤运到中转站的费用最少,则地点应选在( )

  (A)P(B)Q(C)R(D)S

  4. 已知函数

  若方程f(x)=x+a有且只有两个不相等的实数根,则实数a的取值范围是( )

  (A)(-∞,0] (B)(-∞,1)

  (C)[0,1] (D)[0,+∞)

  5.若x1满足2x+2x=5,x2满足2x+2log2(x-1)=5,则x1+x2=( )

  (A) (B)3 (C) (D)4

  6.已知甲、乙两车由同一起点同时出发,并沿同一路线(假定为直线)行驶.甲车、乙车的速度曲线分别为v甲和v乙(如图所示).那么对于图中给定的t0和t1,下列判断中一定正确的是( )

  (A)在t1时刻,甲车在乙车前面

  (B)t1时刻后,甲车在乙车后面

  (C)在t0时刻,两车的位置相同

  (D)t0时刻后,乙车在甲车前面

  二、填空题(每小题6分,共18分)

  7.为缓解南方部分地区电力用煤紧张的局面,某运输公司提出五种运输方案,据预测,这五种方案均能在规定时间T完成预期的运输任务Q0,各种方案的运煤总量Q与时间t的函数关系如下图所示.在这五种方案中,运煤效率(单位时间的运煤量)逐步提高的是_________.(填写所有正确的图象的编号)

  8.在用二分法求方程x3-2x-1=0的一个近似解时,已经将一根锁定在区间(1,2)内,则下一步可断定该根所在的区间为______.

  9.关于x的方程cos2x-sinx+a=0在(0, ]上有解,则a的取值范围为_____.

  三、解答题(10、11题每题15分,12题16分,共46分)

  10.已知函数f(x)=4x+m?2x+1有且只有一个零点,求实数m的取值范围,并求出零点.

  11.某电脑生产企业生产一品牌笔记本电脑的投入成本是4 500元/台.当笔记本电脑销售价为6 000元/台时,月销售量为a台;根据市场分析的结果表明,如果笔记本电脑的销售价提高的百分率为x(0<x<1),那么月销售量减少的百分率为x2.记销售价提高的百分率为x时,电脑企业的月利润是y(元).

  (1)写出月利润y(元)与x的函数关系式;

  (2)试确定笔记本电脑的销售价,使得电脑企业的月利润最大.

  12.已知f(x)是二次函数,不等式f(x)<0的解集是(0,5),且f(x)在区间[-1,4]上的最大值是12.

  (1)求f(x)的解析式;

  (2)是否存在自然数m,使得方程f(x)+ =0在区间(m,m+1)内有且只有两个不等的实数根?若存在,求出m的取值范围;若不存在,说明理由.

  参考答案

  1.【解析】选C.根据题意知函数的零点在

  1.406 25至1.437 5之间,

  因为此时1.437 5-1.406 25=0.031 25<0.1,故方程的一个近似根可以是1.437 5.

  2.【解析】选C.由于f(a)>0,f(b)>0,且抛物线开口向上,所以可能有两个零点.

  3.【解析】选C.设正方形边长为a,采煤量比例系数为x,费用比例系数为k,对于A,中转站选在P点时,费用y1=3kxa+4kxa+3kxa

  +20kxa=30kxa;对于B,中转站选在Q点时,费用y2=6kxa+2kxa+

  2kxa+15kxa=25kxa;对于C,中转站选在R点时,费用y3=9kxa+

  4kxa+kxa+10kxa=24kxa;对于D,中转站选在S点时,费用

  y4=12kxa+6kxa+2kxa+5kxa=25kxa.而24kxa<25kxa< 30kxa,故选C.

  4.【解析】选B.在同一坐标系内画出函数y=f(x)和y=x+a的图象.由图可知a<1.

  5.【解析】选C.∵2x+2x=5?2x=5-2x,

  2x+2log2(x-1)=5?2log2(x-1)=5-2x.

  ∴可抽象出三个函数y=2x,y=2log2(x-1),y=5-2x, 在同一坐标系中分别作出它们的图象(如图所示).

  观察知:

  6.【解析】选A.由图象可知,速度图象与t轴围成的面积表示汽车行驶的位移,在t0时刻,甲车的位移大于乙车的位移,故在t0时刻甲车应在乙车的前面,且t0时刻两车速度相同,故C、D不对,t1时刻甲车的位移大于乙车的位移,故A对.

  7.【解析】由于要求运煤效率逐步提高,因此反映到图象上各点处的切线的斜率即导数应逐渐增大,而只有②符合.

  答案:②

  8.【解析】令f(x)=x3-2x-1,

  显然f(1)<0,f(2)>0,

  又

  答案:( ,2)

  9.【解析】原方程可化为a=sin2x+sinx-1,方程有解当且仅当a属

  于函数y=sin2x+sinx-1的值域时,而y=sin2x+sinx-1=(sinx+ )2- ,∵x∈(0, ],∴sinx∈(0,1].可求得值域为(-1,1],即a的取值范围是(-1,1].

  答案:(-1,1]

  10.【解析】由题 知:方程4x+m?2x+1=0只有一个零点.

  令2x=t(t>0),

  ∴方程t2+m?t+1=0只有一个正根,

  ∴由图象可知,

  当m=-2时t=1,∴x=0.

  ∴函数的零点为x=0.

  11.【解析】(1)依题意,销售价提高后为6 000(1+x)元/台,月销售量为a(1-x2)台,

  则y=a(1-x2)[6 000(1+x)-4 500]

  即y=1 500a(-4x3-x2+4x+1)(0<x<1).

  (2)y′= 1500a(-12x2-2x+4),

  令y′=0,得6x2+x-2=0,

  解得,x=1/2,x=-2/3(舍去).

  当0<x<1>0;当1/2<x<1时,y’<0.

  当x=1/2时,y取得最大值。

  此时销售价为6000×(3/2)=9000元.

  答:笔记本电脑的销售价为9 000元时,电脑企业的 月利润最大.

  12.【解析】(1)∵f(x)是二次函数,且f(x)<0的解集是(0,5),

  ∴可设f(x)=ax(x-5)(a>0),

  ∴f(x)在区间[- 1,4]上的最大值是f(-1)=6a.

  由已知,得6a=12,

  ∴a=2,∴f(x)=2x(x-5)=2x2-10x(x∈R).

  【备课资源】

  1. 定义域和值域均为[-4,4]的函数y=f(x)和y=g(x)的图象如图所示,下列命题正确的是( )

  (A)方程f(g(x))=0有且仅有三个根

  (B)方程g(f(x ))=0有且仅有三个根

  (C)方程f(f(x))=0有且仅有两个根

  (D)方程g(g(x))=0有且仅有两个根

  【解析】选A.由于f(x)=0有3个根,且g(x)∈[-4,4],则f(g(x))=0有且仅有三个根.

  2. 已知a是使表达式2x+1>42-x成立的最小整数,则方程1-2x-1=ax-1实数根的个数为( )

  (A)0(B)1(C)2(D)3

  3.若方程2ax2-x-1=0在(0,1)内恰有一解,则a∈_____.

  【解析】令f(x)=2ax2-x-1,由题意 知:

  f(0)?f(1)<0,∴(-1)?(2a-2)<0,∴a>1.

  答案:(1,+∞)

  6.设 为实数,已知函数

  (1)当 =1时,求函数 的极值。

  (2)若方程 =0有三个不等实数根,求 的取值范围。

  (2)因为f′(x)=x2-2ax+(a2-1)=[x-(a-1)][x-(a+1)],所以方程f′(x)=0的两根为a-1和a+1,

  显然,函数f(x)在x=a-1处取得极大值,在x=a+1处取得极小值.因为方程f(x)=0有三个不等实根,

  解得-2故a的取值范围是(-2,-1)∪(-1,1)∪(1,2).

  7.设函数f(x)在(-∞,+∞)上满足f(2-x)=f(2+x),f(7-x)=f(7+x),且在闭区间[0,7]上,只有f(1)=f(3)=0.

  (1)试判断函数y=f(x)的奇偶性;

  (2)试求方程f(x)=0在闭区间[-2 009, 2 009]上的根的 个数,并证明你的结论.

  【解析】(1)由已知得f(0)≠0,故f(x)不是奇函数,

  又f(-1)=f(5)≠0,故y轴不是函数y=f(x)的对称轴,即f(x)不是偶函数.

  综上知,函数y=f(x)既不是奇 函数又不是偶函数.

  又f(3)=f(1)=0,

  ∴f(11)=f(13)=f(-7)=f(-9)=0.

  故f(x)在[0,10]和[-10,0]上均有2个根,从而可知函数y=f(x)在[0,2 000]上有400个根,在[2 000,2 009]上有2个根,在[-2 000,0]上有400个根,在[-2 009,-2 000]上有2个根.

  所以函数y=f(x)在[-2 009,2 009]上有804个根.

  两角和

  3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式

  前预习学案

  一、预习目标

  1.理解并掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式,初步运用公式求一些角的三角函数值;

  2.经历两角和与差的三角公式的探究过程,提高发现问题、分析问题、解决问题的能力;

  二、预习内容

  1、在一般情况下sin(α+β)≠sinα+sinβ,cos(α+β)≠cosα+cosβ.

  2、

  已知 ,那么 ( )

  A、- B、 C、 D、

  3.在运用公式解题时,既要注意公式的正用,也要注意公式的反用和变式运用.如公式tan(α±β)= 可变形为:tanα±tanβ=tan(α±β)(1 tanαtanβ);

  ±tanαtanβ=1- ,

  4、又如:asinα+bcosα= (sinαcosφ+cosαsinφ)= sin(α+φ),其中tanφ= 等,有时能收到事半功倍之效.

  =_____________.

  三、提出疑惑

  同学们,通过你的自主学习,你还有哪些疑惑,请把它填在下面的表格中

  疑惑点疑惑内容

  内探究学案

  一、学习目标

  1. 能从两角差的余弦公式导出两角和的余弦公式,以及两角和与差的正弦、正切公式,了解公式间的内在联系。

  2.能应用公式解决比较简单的有关应用的问题。

  学习重难点:

  1. 重点:两角和、差正弦和正切公式的推导过程及运用;

  2. 难点:两角和与差正弦、余弦和正切公式的灵活运用.

  二、学习过程

  (一)复习式导入:大家首先回顾一下两角和与差的余弦公式:

  动手完成两角和与差正弦和正切公式.

  观察认识两角和与差正弦公式的特征,并思考两角和与差正切公式.

  通过什么途径可以把上面的式子化成只含有 、 的形式呢?(分式分子、分母同时除以 ,得到 .

  注意:

  以上我们得到两角和的正切公式,我们能否推倒出两角差的正切公式呢?

  注意: .

  (二)例题讲解

  例1、已知 是第四象限角,求 的值.

  例2、利用和(差)角公式计算下列各式的值:

  (1)、 ;(2)、 ;(3)、 .

  例3、化简

  (三)反思总结

  (四)当堂检测

  (A) (B)

  (C) (D)

  (A) (B)

  (D)

  (A) (B)

  (C) (D)

  参考答案

  1、 2、C 3、A 4、 5、1 6、

  后练习与提高

  1. 已知 求 的值.( )

  2. 若

  3、函数 的最小正周期是___________________.

  4、 为第二象限角,

  参考答案

  1. 2、 39、2 4、 5.

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