线性代数第一章习题答案
第一章 习题A
1. 1. 设有三阶行列式D,其中第3列元素依次为1,3,-2,它们对应的余子式依次为3,-2,1, 求D
解:由Dn a1jA1j a2jA2j ... anjAnj(j 1,2,...,n)有: D a13A13 a23A23 a33A33 1 3 3 ( 2) ( 2) 1 7
a1 kb1
b1 c1c1a1b1c12. 证明 a2 kb2
b2 c2c2 a2
b2c2
a3 kb3b3 c3c3a3b3
c3
a1 kb1
b1 c1c1
a1
b1 c1c1
kb1
b1 c1c1证明: a2 kb2
b2 c2c2 a2
b2 c2c2 kb2
b2 c2c2 a3 kb3
b3 c3
c3a3b3 c3
c3kb3
b3 c3
c3
a1b1c1a1c1c1kb1b1 a2
b2c2 a2c2c2 kb2b2a3
b3c3a3c3
c3kb3b3
a1
b1c1 a2
b2c2 a3
b3
c3
3. 利用性质计算下列三阶行列式:
2
01
1 a12 a13 a1 (1) 1
4 1; (2) a2
2 a23 a2 1831 a32 a3
3 a3
ab
acae
x 1 1
(3) ad
cd
de; (4) 1x 1;
bfcd ef0 1x 1
2
1解:(1)
1 4 1 2 4 1 1 1 4
2 ( 4) 1 4 183
83 18
4c1kb1c2 kb2c3kb3
c1c1c2c2c3
c3
线性代数习题答案第一章
1 a1
2 a13 a12 a13 a1a12 a13 a1 (2) a2
2 a23 a2 2 a23 a2 a22 a23 a2 a3
2 a3
3 a32 a33 a3a3
2 a3
3 a3
23 a1a13 a1a123 a1a1 23 a2 a23 a2 a223 a2 a223 a3a33 a3a323 a3a3
a13 a1a1
23 a1 a23 a2 a223 a2 a3
3 a3a323 a3
a1
3
a1
a1a1
23
a12a1 a2
3 a2a2 a223 a22a2 a3
3a3a3a323a3
2a3
ab
acae aaa aaa (3) bd
cdde=bced dd bced
dd bf
cf
efff fff f 1
1
1
2
=abcdef1
11 abcdef0 22 1
1 111 1
abcdef ( 2)
02
1 1
4abcdef
x 1 1
(4) 1
x 1=(x 1)x 1 ( 10
1x 1
1x 1 1)( 1)3
1x 1
=(x 1)(x2
x 1) (x 1) (x 1)(x2
x 2) =(x 2)(x2
1)
4. 计算下列四阶行列式:
a13 a1a23 a2a3
3 a3
线性代数习题答案第一章
01 (1)
1201解:(1)
12 1 121 1 121 10 11 10 11221
422
; (2)
2011020
120
20 1 12
1
21 102= 1 ( 1)31001 12
3
0031 4
0 2
4
111 1
.
99981 2
12 12 1 4
= 1
24
12 ( 1)( 1)3 4
4 10
04 10
2111211421 1632
(2)
201102 999854 197121 2543
63
= 5
1
632
1 ( 1)554 197 0
543
63
4 197 200 1800
54
00200
2
5. 计算下列n阶行列式:
a0
(1) Dn
0a000a00
00a000
a0
10
; (2) Dn
xaa
a0
=
a
n 2
axa
0010
10
aax
.
01a0
解:(1) Dn
0a100a
100
01010a
1...
an 2(a
00
a
n 2
............0...1000...1 1 ( 1)n 10...a0...
0......0......110) ...0
(a2 ( 1)n 1 1 ( 1)n) an 2(a2 1)
线性代数习题答案第一章
11
(2) Dn (x (n 1)a)
...
aax1
10
(x (n 1)a)
...0
xa
ax
aa
6. 判定齐次线性方程组
a...x.........a...ax a...0aa ...x...a...0
.........x a
(x (n 1)a)(x a)n 1
x1 3x2 2x3 0,
2x1 x2 3x3 0,
3x 2x x 0
23 1
有无非零解.
解:齐次线性方程组的系数行列式为:
1
A 2
32132132
13 0 7 1 0 7 1 42 0
32 10 7 700 6
而齐次线性方程组有非零解的充要条件是系数行列式不等于零 . 则该齐次线性方程组没有非零解.
7. 设齐次线性方程组
3x1 kx2 x3 0,
4x2 x3 0,
kx 5x x 0
23 1
有非零解,求常数k. 解:有非零解的.充要条件是
41 14kD 041 3 k ( 1) (k 3)(k 1) 0
5 141
k 5 1
故k 1或k 3时,有非零解.
3k 1
线性代数习题答案第一章
习题B 1. 填空题：
a11
(1)设a21
a12a22a32
a13 2a11 2a12 2a32 2a22a11
a12a32a22
2a13
2a33 2a23
a13
a11
a12a22a32
a13
a23 8 2 16 a33
a31 2a11
解: 2a31
a23 2,则 2a31a33 2a21
2a13
2a12 2a32 2a22
a1
2a21
2a33 ( 2)3a31 2a23a21
1
1
a33 ( 8)( 1)a21
a23a31
(2) 三阶行列式
1
11
1 a21 11 a31
a10
1
1
1
a1
解：
11
1 a21 11 a3
a a31
a2 a3 (1 a1)2 1 ( 1)3
11 a3a2
11 a3
1 a3
(1 a1)(a2 a2a3 a3) ( a3 a2) a1a2a3 a1a2 a2a3 a3a1
1 a
(3). 四阶行列式
00
123 aa0解:
0 aa00 a
4
0a1234
334
03a3a4a
a3 110
0 aa0
0 11
00 aa
10343
a(3 ( 1)( 1)3) 10a3
11 11
(4). 已知
2
a a040 0a
30a a
n阶行列式D, 其中元素aij的代数余子式为Aij, 则
aniAnj a1iA1j a2iA2j
解:由ai1Aj1 ai2aj2 ... ainAjn D ij
D,i j
得
0,i j
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