关于复变函数论第四版第三章的练习
复变函数论 第三章 练习题 2014-04-14 复积分是研究解析函数的一个重要工具. 柯西积分定理及柯西积分公式尤其重要，是复变函数论的基本定理和基本公式。由柯西定理可导出解析函数的一系列重要结果，诸如柯西积分公式、柯西不等式、唯一性定理和最大模原理等。特别地，有解析函数有连续导数以及任意阶导数. 直到20世纪中期，这两个结果才分别由R.L.Plunkett(Bull.Amer.Math.Soc.65, 1959)及E.H.Conell and P.Porcelli(Bull.Amer.Math.Soc.67,1961)不用柯西定理，而用拓扑方法做出证明。作为柯西积分定理的推广，则由应用广泛的留数基本定理，代数学基本定理就是留数定理的一个简单推论，应用它还可以计算一些较复杂的实定积分。
一、柯西积分定理的理解
1.设函数f(z)在区域D内解析，那么这个函数沿D内任意闭路线积分是否都为零？为什么？
2.对什么样的周线C, 有?C1dz?0. 2z?z?1
3.设函数f(z)在0?|z|?1内解析，且沿任何圆周C:|z|?r,0?r?1的'积分值为零。问f(z)是否必须在z?0处解析？试举例说明之？
4.设函数f(z)在单连通区域D内解析，且在D内的闭曲线C上满足|f(z)?1|?1.证明：?Cf?(z)dz?0. f(z)
二、利用柯西定理、柯西公式、不定积分（原函数）和路径无关性等计算积分
1.计算下列积分：
（1）?
?Cdz,C:|z|?3； 2z(z?1)sinz,C:|z?2i|?2；（3）?(|z|?z),C:|z|?1 ； Cz2?9（2）
(4) C?C(|z|?ezsinz)dz,C:|z|?a?0;
*（5）dz?C(z?2)(z?4)(z?6)(z?100),C:|z|?99。
2.沿从1到?
1的如下路径求?. （1）上半单位圆周；（2）下半单位圆周，
取沿负实轴割开平面的主值支。
3.设函数f(z)在|z|?1内解析，在闭圆|z|?1上连续，且f(0)?1,求积分
11dz[2?(z?)]f(z)之值. 2?i?|z|?1zz
1z?adz1(|a|?R),4.通过计算积分求证2?i?|z|?Rz?az2??2?
0R2?|a|2d ?1. i 2|Re?a|
三、柯西定理、柯西公式、积分估值、柯西不等式等定理在命题证明中的应用
1. 设f(z)在周线C所围的区域D上解析，在D+C上连续，则对任意z?D,有|f(z)|?M,其中M?max|f(z)|，从而求|ez|在|z|?1上的最大值。 z?C
2.设a,b为实数，s???it(??0),证明不等式|ebs?eas|?|s||b?a|emax{a,b}?.
3.若函数f(z)在区域D内解析，C为D内以a,b为端点的直线段。试证：存在数?,|?|?1,与??C使得f(a)?f(b)??(b?a)f?(?).
4.如果在|z?|1函数内f(z)解析，且|fz(?1
1?z|| .证：试
1|f(n)(0)|?(n?1)!(1?)n?e(n?1)!,(n?1,2,). n
5. 如果函数f(z)在|z|?1内解析，在|z|?1上函数值f(ei ?)a?co ?si sin?, ?0?a?2试求这个函数,1. ,2a?2ac o?s1
6*.（含无穷远点的柯西积分公式）设函数f(z)在简单闭曲线C的外部区域D解析，在D+C上连续，且有limf(z)?A.证明：z????f(z)?A,z?D?E(C),1f(?) dz??A,z?I(C)2?i?C??z?
22四、关于调和函数和解析函数 1.设w?u?iv是z的解析函数，且u?(x?y)(x?4xy?y). 求v.
px2.设u(x,y)?esiny,而f(z)?u?iv为一解析函数，试求p的值与f(z).
3.确定形如u?f()的所有调和函数。
4.若调和函数u(x,y)的自变量替换成x?x(?,?),y?y(?,?)其中y(?,?)为x?x(?,?)的共轭调和函数，试证明替换后的函数仍然是调和函数。 yx
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